This thesis is devoted to a study of the relations between multiresolution analyses and wavelets in generalized sense.
First, we characterize the Riesz wavelets which are associated with multiresolution analyses (MRAs) and characterize the Riesz wavelets whose duals are also Riesz wavelets. The characterizations show that if a Riesz wavelet is associated with an MRA, then it has a dual Riesz wavelet. We then improve Wang`s characterization for a pair of biorthogonal wavelets to be associated with biorthogonal MRAs by showing that one of the two conditions in his characterization is redundant.
We generalize the above results to frame multiresolution analyses (FMRAs) and frame wavelets. We characterize semi-orthogonal frame wavelets by generalizing the characterization of orthonormal wavelets. We then characterize those semi-orthogonal frame wavelets that are associated with FMRAs. Moreover, we introduce the concepts of quasi-biorthogonal FMRAs and quasi-biorthogonal frame wavelets which are natural generalizations of biorthogonal MRAs and biorthogonal wavelets, respectively. Necessary and sufficient conditions for quasi-biorthogonal FMRAs to admit quasi-biorthogonal wavelet frames are given and we characterize the pair of quasi-biorthogonal frame wavelets that are associated with quasi-biorthogonal FMRAs.
On the other hand, we also study the relationship between MRAs and FMRAs. We characterize a scaling function of an FMRA and also characterize the spectrum of the `central space` of an FMRA, which determines the structure of the FMRA. We prove that an FMRA is always contained in an MRA, and then we characterize those MRAs that contain FMRAs in terms of the unique low-pass filters of the MRAs and the spectrums of the central spaces of the FMRAs to be contained. This characterization shows, in particular, that if the low-pass filter of an MRA is almost everywhere zero-free, as is the case of the MRAs of Daubechies, then the MRA contains no FMRAs other than itself.
Finally, a multivariate FMRA with a general integer dilation matrix and multiple scaling functions is considered. We derive the formulas of the lengths of the initial (central) shift-invariant space $V_0$ and the next dilation space $V_1$, and, using these formulas, we address the problem of the number of the elements of a wavelet set, i.e., the length of the shift-invariant space $W_0:=V_1ΘV_0$. We, then, show that there does not exist a `genuine` FMRA for which $V_0$ and $V_1$ are quasi-stable spaces satisfying the usual length condition.
MRA로부터 오는 웨이브릿은 subband coding, image processing 등 많은 응용분야에 널리 이용되고 있다. 본 학위 논문에서는 일반적인 MRA와 웨이브릿의 관계에 대해 연구하고자 한다.
먼저 Riesz 웨이브릿이 MRA로부터 오기 위한 필요충분조건을 제시하고 Riesz 웨이브릿의 dual 역시 Riesz 웨이브릿이 되기 위한 필요충분조건을 얻는다. 이러한 특성은 MRA로부터 오는 Riesz 웨이브릿의 dual 역시 Riesz 웨이브릿임을 보여준다. 또한 쌍 직교 웨이브릿이 쌍 직교 MRA로부터 오기 위한 필요 충분조건으로 알려진 Wang의 조건 중 하나가 불필요함을 증명한다.
이러한 위의 결과들을 FMRA와 프레임 웨이브릿의 경우로 확장시킬 수 있다. 직교 웨이브릿의 특성을 일반화하여 반직교 프레임 웨이브릿의 특성을 찾고 FMRA으로부터 오는 반직교 프레임 웨이브릿을 찾는다. 또한 쌍 직교 MRA와 쌍 직교 웨이브릿의 자연스런 일반화인 준 쌍 직교 MRA와 준 쌍 직교 웨이브릿 개념을 도입한 후 준 쌍 직교 MRA가 주어졌을 때 준 쌍 직교 웨이브릿이 존재하기 위한 필요충분조건을 찾고 역으로 준 쌍 직교 MRA로부터 오는 준 쌍 직교 웨이브릿의 특성을 살펴 본다.
한편 MRA와 FMRA의 관계도 살펴 본다. 우선 FMRA의 스케일링 함수가 되기 위한 조건을 찾고 FMRA의 구조를 결정하는 FMRA의 중심 공간의 스펙트럼의 특성을 찾는다. 이러한 방법과 결과를 이용하여 프레임 MRA는 항상 어떤 MRA에 포함된다는 사실을 증명하고 FMRA를 포함하는 MRA의 특성을 MRA의 유일한 저역 필터와 포함된 FMRA의 중심 공간의 스펙트럼으로 나타낸다. 특히 저역필터가 Daubechies의 MRA처럼 거의 모든 부분에서 영을 갖지 않으면 이때 MRA는 자신과 다른 FMRA를 포함하지 않음을 보인다.
마지막으로 다수의 스케일링함수들로 이루어진 다중 FMRA에 대해 다룬다. 먼저 정수 이동공간 $V_0$와 다음 팽창 공간 $V_1$의 길이의 식을 이끌어 내고 이 식들을 이용하여 정수 이동공간 $W_0:=V_1ΘV_0$의 길이 문제를 다룬다. 다음으로 일반적인 길이 조건을 만족하는 $V_0$와 $V_1$가 동시에 준 안정 공간인 순수한 FMRA는 존재하지 않음을 보인다.
