Finite element method is one of the main tools for the numerical treatment of elliptic partial differential equations. In this thesis, the stabilities and error estimates for finite element approximations is studied for the second order boundary value problem and the Stokes problem.
The stability of the finite element method for the Stokes problem depends on the choice of finite element spaces for the velocity and the pressure. The finite element approximation scheme with divergence augmentation shows that the $P_{k+1}-P_{k-1}$ triangular elements, the $Q_{k+1}-Q_{k-1}$ quadrilateral elements in $\Real^2$, k ≥ 1, and the cross-grid $P_{k+1}-P_{k-1}$ tetrahedral elements in $\Real^3$, k ≥ 2, are stable.
Also, the modified cross-grid element using continuous piecewise linear polynomials to approximate velocities and piecewise constants to approximate pressures is proved to be stable using the macroelement technique arguments.
The mortar method as a new approach to domain decomposition which allows the coupling of nonmatching triangulations along interior interfaces between subdomains or discretization schemes is considered for second order elliptic problems. The nonconforming finite element on rectangular meshes with the local basis $\mbox{Span}\big\{1, x, y, \big(x^2-\frac{5}{3}x^4\big) -\big(y^2-\frac{5}{3}y^4\big)\big\}$ is used in each subdomain and the convergence of optimal order in the the broken energy norm is derived.
Finally, numerical experiments which confirm the stabilities and the error estimates of optimal order are provided.
유한 요소법은 타원형 편미분 방정식의 수치적 해를 구하는 중요한 도구이다. 이 논문은 2차 경계값 문제와 Stokes 문제에 대한 유한 요소 근사의 안정성과 오차 추정을 다루고 있다.
Stokes 문제에 대한 유한 요소법의 안정성은 속도와 압력의 유한 요소 공간의 선택과 관련되어 있다. 발산항을 덧붙인 유한 요소 근사를 이용하여 2차원 공간의 $P_{k+1}-P_{k-1}$ 삼각형 유한 요소와 $Q_{k+1}-Q_{k-1}$ 사각형 유한 요소, 3차원 공간의 cross-grid $P_{k+1}-P_{k-1}$ 사면체 유한 요소가 안정적임을 보였다.
또한 macroelement 방법을 이용하여 속도를 조각 선형 함수로 근사하고 압력을 조각 상수 함수로 근사한 수정된 cross-grid 요소가 안정적임을 증명했다.
인접한 두 부분 영역 사이의 경계에서 triangulation의 불일치를 허용하는 영역 분할법의 새로운 접근 방법인 모르타르 방법을 2차 타원형 문제에 적용하여 각각의 부분 영역에서 $\mbox{Span}\big\{1, x, y, \big(x^2-\frac{5}{3}x^4\big) -\big(y^2-\frac{5}{3}y^4\big)\big\}$을 부분 기저로 갖는 직사각형 부접합 유한 요소를 이용한 모르타르 방법이 최적 수렴함을 보였다.
이와 같은 유한 요소 근사의 안정성과 최적의 오차 추정을 수치 실험을 통해서 확인했다.
