In the sheet metal coating process, a plate is transported by rollers. In this process, the transport speed, motion of the rollers and tension can cause a vibration of the plate. The vibration of the plate during the process can adversely affect the quality of the finished product. The non-uniform edge tension in width direction due to the crowned shape of the roller affects linear vibration characteristics and the transport speed and time-varying tension affect the stability and the response of the plate. Thus, the study about the vibration of the plate, including modal analysis and forced vibration analysis that gives an insight of the vibration mechanism, is very important work to improve the quality of the products.
The vibration response shows mainly two components: natural frequency and roller rotating frequency. The plate vibration derives from two principal mechanisms. The first mechanism is an external excitation that results from the eccentric rotation of the roller(s) and/or supporting bearings. Eccentric roller/bearing rotation produces motion normal to the sheet at the boundary formed by the roller. The second mechanism is a parametric excitation that develops from the time varying tension experienced by the sheet metal plate. The magnitude of the time varying tension is on the order of 10% of the mean tension, and it is a likely source of parametric resonance.
In this study, there are mainly two parts of researches. One is the modal analysis of the plate based on the linear model, and the other is the forced vibration analysis based on the linear/nonlinear model. In the modal analysis, first, the natural frequencies and the mode shapes are examined under the effect of the non-uniform tension in width direction. In this analysis, to find the internal stress distributions under the non-uniform edge tension, modified Fourier series method is proposed and the changes of the linear vibration characteristics (natural frequencies and mode shapes) are found. Using this model, which considers the non-uniform edge tension, the forced vibration analysis is performed. First, the roller motion is considered to be the excitation source and the pulse type of roller motion is used as an external excitation input. However, this model cannot account for the vibration response sufficiently, thus another source is considered, that is parametric excitation due to time varying tension. In this parametric excitation analysis, the nonlinear plate model considering the mid-plane stretching is used to guarantee the finite amplitude of the response. By comparison of the response data and the tension data, it is shown that the one of main source of the vibration is parametric excitation due to time varying tension. Simulation also shows the same conclusion. However, in this analysis, the only parametric excitation without the combined effect of external excitation is considered, which gives slightly different coupling of response and tension. Thus, in the final model, the combined parametric and external excitation is considered. From this model, it is found that there exist three kinds of primary parametric excitations that bring a natural frequency response: one is the original excitation (twice the natural frequency) and the others are additional two ones (natural frequency plus/minus roller rotating frequency). The nonlinearity brings a shift of the parametric resonance range and when the two/three parametric excitations exist, the initial phase of each excitation has a very important role in determining the amplitude of the response and the frequency-response curves.
From the simulation results using the measured tension data, assuming that the damping ratio, roller rotating frequency and magnitude of the time-varying component are varied, their ranges, in which the model used in the analysis is insensitive to their uncertainties, were found: in this system, although the model is insensitive to the damping ratio that ranges between 0.001 and 0.004 and external excitation frequency below 3.6Hz, it is sensitive to the time-varying tension component. We must place the roller rotating frequency far from the natural frequency and also reduce the time-varying tension component as much as possible to reduce the response.
도금(鍍金) 공정에서 박판(thin plate)은 두개의 롤러에 의해 이송된다. 이 과정에서 이송 속도, 롤러의 움직임, 장력은 박판의 진동을 유발할 수 있다. 공정 중의 판 진동은 생산품의 품질을 저하시키게 된다. 롤러의 곡면 형상에 의한 폭 방향으로 불균일한 장력은 선형적인 진동 특성에 영향을 끼칠 수 있고 이송 속도 및 시변(時變) 장력은 안정성과 진동의 응답에 영향을 끼칠 수 있다. 따라서 이러한 시스템의 모드 해석 및 강제 진동 해석을 통한 진동 메커니즘의 규명은 생산품의 품질을 향상 시킬 수 있는 방법을 제시할 수 있게 한다.
측정된 진동 데이터는 고유진동수와 롤러 회전수의 두 가지 주 성분으로 이루어있다. 박판의 진동은 크게 두 가지의 메커니즘에 의해 일어난다. 하나는 롤러의 편심(偏心) 운동에 의한 외부 가진이고, 또 다른 하나는 박판을 이송하는 장력의 시변 성분에 의한 파라메트릭 가진(parametric excitation)이다. 시변 장력은 평균 장력의 10% 정도로 측정이 되며 이는 파라메트릭 공진(parametric resonance)의 원인이 될 수 있다.
본 연구는 크게 두 부분으로 나누어진다. 첫번째는 선형 모형을 기반으로 하는 모드 해석이고 두번째는 선형 및 비선형 모형을 기반으로 하는 강제 진동 해석이다. 모드 해석에서는 불균일 장력에 의한 고유진동수 및 모드 형상의 변화가 연구 되었다. 불균일 장력에 의한 내부 응력 분포를 구하기 위하여 변형된 푸리에 급수 방법을 제안, 이용하였다. 이 방법을 이용해 구한 응력을 이용하여 불균일 장력을 받는 박판을 모형화 하였고 이 모형을 이용하여 강제 진동 해석을 수행하였다. 진동 메커니즘의 규명을 위하여 우선 펄스 형태의 외부 가진만을 가진력으로 모형화하여 응답을 구하였으나 실제 응답을 충분히 설명하지 못하였다. 따라서 시변 장력에 의한 파라메트릭 가진을 고려한 모형을 이용하였고 파라메트릭 공진의 해석을 위하여 비선형성을 모형에 추가하였다. 이 모형으로부터 구해진 수치 응답과 실제 측정된 응답의 비교를 통하여 파라메트릭 가진이 진동의 주 원인 중 하나라는 사실을 밝혀 내었다. 그러나 파라메트릭 가진만을 고려한 모형에서는 장력과 실제 응답에 예외적인 무관성을 보였고 이를 보완하기 위한 모형으로서 파라메트릭 가진력과 외부 가진력을 같이 포함하는 모형을 제시하였다. 이 모형의 해석으로부터, 고유진동수의 두 배에 해당하는 기본적인 파라메트릭 가진력 외에도 두 개의 추가적인 파라메트릭 가진력(고유진동수±외부 가진 주파수)이 존재 함을 알아내었다. 비선형성은 파라메트릭 공진 영역의 이동을 가져 오며, 두 개 또는 세 개의 파라메트릭 가진력이 외부 가진력과 동시에 존재할 경우에는 각 파라메트릭 가진력과 외부 가진력의 초기 위상 차이가 응답의 크기와 주파수-응답 곡선을 결정하는데 중요한 역할을 함을 알아내었다.
감쇠 계수의 크기, 롤러 회전 주파수, 시변 장력의 크기를 변화 시키며 실제 측정된 장력을 이용하여 구한 수치 해석의 응답을 통하여 모형의 이들 변화 요인의 불확정성에 대한 민감도 및 응답의 변화를 해석하였다. 본 시스템의 경우 0.001에서 0.004 사이의 감쇠 변화, 3.6Hz 이하의 외부 가진력의 주파수 변화에 대해서는 민감하지 않으나, 장력의 크기 변화에는 민감함을 알아내었다. 또한 진동 저감을 위한 최선의 방법으로 가능한 한 롤러 회전 주파수를 공진 주파수로부터 멀게 하고 시변 장력의 크기를 줄여야 함을 제안하였다.
