Multi-domain (or -zone, or -region) boundary element method (MBEM) is the general form of the BEM, in which the interior cavity is divided into several sub-domains connected by hypothetical interface planes. The whole surface pressures and normal velocities on the real and the imaginary surfaces could be obtained by solving the overall linear equation with the given general boundary conditions: Neumann, Dirichlet and Robin conditions. The field pressures, then, were calculated by using SBIE of the single sub-domain and the surface ariables. Through the numerical example, it was observed that the developed program of MBEM could be used as an accurate numerical method for solving the interior acoustic problem. The computational performance of MBEM strongly depends on the shape of the cavity and the division type that includes the number of sub-domains and the locations and shapes of the imaginary interfaces. Although the locations and shapes of the imaginary interfaces would be determined intuitively, it is preferred that the number of sub-domains should be determined under a certain rule to ensure the enhanced accuracy and efficiency in using MBEM. For this purpose, the optimal numbers of sub-domains minimizing the memory size and computation time for constructing and solving matrix equation are derived analytically for the simple two-dimensional cavity modeled by linear boundary elements. As a demonstration example, a two-dimensional long duct modeled with the linear elements is chosen. It is found that the error caused by dividing sub-domains increases as the number of sub-domains is increased because the number of junctions between the imaginary interfaces and the real surfaces are also increased. As a result, the modification of MBEM model through the present guidelines yields more accurate and efficient computation than using SBEM. The number of sub-domains and the locations and shapes of the imaginary interfaces have been determined case by case for dealing with the arbitrary geometries with minimum calculation effort and cost. For some special geometry such as those having a bottleneck, having different media contacting each other, having a knife-edge that causes the singularity, etc., aforementioned conditions have been determined intuitively. The two-dimensional rectangular cavity model using the linear line elements in this study is one of the simplest cases in dealing with the aforementioned conditions, but the calculation effort and cost would be tested analytically in here. There are many practical cases involved with long irregular geometries, for which they can be approximated with long regular geometries wrapping closely from outside. If we apply the guideline suggested in this study to the fore-going rectangular cavity problem, MBEM calculation efficiency would be surely enhanced in comparison with SBEM although it may not be an optimal one. Geometries such as a passenger cabin of the airplane, a coach of the railway train, a long curved duct system such as the tunnel, etc., are good applicable geometries conforming to this guideline. The sub-domain modularization scheme in using MBEM is presented and utilizes the database of system matrix for the common sub-domain to solve the interior acoustic cavities with partial differences in geometry or boundary condition. The interior cavities can be divided into the common sub-domain and other sub-domains with different shapes. The common sub-domain module can be used repeatedly as the system matrix database if it is calculated and stored once. As a consequence, this computation scheme can reduce the total computation time greatly as the increase of the number of interior cavities to be calculated. The acoustic design sensitivity was formulated using the two different numerical methods: SBEM and MBEM. First, the sensitivities of the surface variables with respect to design variable were formulated by differentiating the MBIE with respect to the specific design variable. During this procedure finding the sensitivities, the process of changing shape was needed when calculating the derivatives of the sub-system matrices obtained from the sub-domain with respect the shape design variable, which is included in the same sub-domain. Second, the sensitivities of the field variables with respect to design variable were formulated by differentiating SBIE of the sub-domain containing the field point with respect to the specific design variable. In this case, the location of field point was important and affected the efficiency of calculation. Consequently, when using MBEM for the sensitivity analysis, it is effective in the viewpoint of the computational cost that the field point, at which the objective function is obtained, would be located in the sub-domain, in which the shape design variables are not included. The presented method is verified by using the one-dimensional duct which has the analytical solution. The presented method is based on the FD scheme. The accuracy of the sensitivity calculated by using MBEM or SBEM is dependent on the size of perturbation of the shape design variable. The sensitivity of the object function cannot be exact unless the object function is linear in the design variables. The object function becomes more linear as the size of perturbation of the design variable becomes smaller. As an application example for irregular domains, a simple two-dimensional automotive interior cavity is taken for optimally reducing the noise level at the driver`s ear position. When using SBEM, each iteration process had near same computational time because of the change of the design variable affected the whole system matrix. When using MBEM, the first iteration process took approximately same time compared with that of using SBEM. However, after the first iteration process, the computational times of other iterations became much smaller because the system matrices (including the inverse matrix) of the first sub-domain can be used without additional works and the second sub-domain was only changed. Consequently, the use of MBEM for the shape optimal design is much more effective than that of SBEM.
다중 영역 경계요소법은 가상의 경계면에 의해서 나뉘어진 두 개 이상의 부분 영역들에서 정의된 경계적분 방정식과 부분 영역들 사이의 가상의 경계면에서의 음압과 법선 방향 속도의 연속 조건을 이용하여 음장을 해석하는 방법이다. 일반적인 경계조건이 주어져 있는 내부음향 문제를 다중영역 경계요소법을 이용하여 해석하는 경우에 가상의 경계면을 포함한 모든 면위의 미지수들을 일단 구하면 모든 부분 영역들은 각각 완전한 단일 영역들로 취급할 수 있어서, 음장점에서의 음압을 구하는 경우에는 음장점이 포함된 부분 영역만을 고려하면 된다. 본 연구에서는 이러한 다중영역 경계요소법의 이론을 연구하고 컴퓨터 프로그램을 만들어서 예제를 통해서 방법의 정확성을 검증하였다. 다중영역 경계요소법의 계산 성능은 내부 공간의 형상, 부분 영역의 개수와 연결 방법, 가상의 경계면의 위치와 형상에 의존하고 있다. 일반적으로 다중 영역 경계요소법을 이용하는 경우에 부분 영역의 분할은 사용자의 직관에 의존하게 되고 항상 계산 성능의 향상을 기대할 수는 없다. 따라서, 다중 영역 경계요소법을 사용하여 내부 공간의 음장을 효율적으로 해석하기 위해서는 다중 영역 분할에 대한 특정한 지침이 존재해야만 한다. 본 연구에서는 가장 간단한 이차원 내부 공간을 이용하여 계산에 필요한 컴퓨터 메모리 크기와 각 계산 단계별 수행시간을 이론적으로 예측하는 연구를 수행하였다. 그 결과 종횡비로 대변되는 내부 공간의 형상에 따라 최적의 부분 영역의 개수를 예측할 수 있었고, 이러한 최적의 부분 영역의 개수로 나누어 다중 영역 경계요소법을 적용한다면 기존의 단일 영역 경계요소법을 사용하는 것 보다 훨씬 계산 성능을 향상시킬 수 있음을 확인할 수 있다. 하지만, 가상의 경계면의 증가에 따른 오차들이 누적되어 부분 영역의 개수가 많아질 수록 해의 정확도가 떨어진다. 본 연구에서는 해의 정확도와 계산의 효율을 높일 수 있는 다중 영역 분할에 대한 특정한 지침을 제시하였다. 결과적으로 제시된 지침을 따라 다중 영역 경계요소법을 사용하여 내부 공간의 음장을 해석하는 것이 기존의 단일 영역 경계요소법을 사용하는 것과 비교하여 더 정확하고 효율적인 계산을 수행할 수 있다. 만약, 일반적인 형상을 가진 내부 공간의 음장해석의 경우에는 내부 공간을 가장 가깝게 둘러싸고 있는 2차원의 상자들 가정하고 이 지침을 적용하면 된다. 이 경우 정확한 최적의 부분 영역 개수로 분할할 수는 없어 최적의 효율을 보일 수는 없지만, 기존의 단일 영역 경계요소법을 사용하는 경우에 비하면 계산효율이 분명히 향상된다. 본 연구에서는 일부분의 형상이 다른 여러 개의 내부 공간들을 효과적으로 해석하기 위한 방법으로 부분영역 모듈화 기법을 제안하였다. 내부 공간들은 형상이 같은 부분으로 이루어진 공통 부분 영역과 나머지 다른 부분 영역들로 분할할 수 있고, 공통 부분 영역에서 정의되는 부분 행렬들과 역 행렬들을 한번만 계산을 한 후 데이터 베이스로 반복적으로 사용할 수 있다. 만약, 해석할 내부 공간의 개수가 증가하게 되면 부분 영역 모듈화 기법을 사용하는 것이 비약적으로 계산효율을 향상시킬 수 있게 된다. 이러한 부분 영역 모듈화 기법은 형상 최적설계 과정에 적용시킬 수 있다. 본 연구에서는 유한차분법을 이용한 설계 민감도식을 단일 영역 경계요소법과 다중 영역 경계요소법에 대해서 각각 수식화를 하고 예제를 통해서 정확도와 계산의 효율을 비교하였다. 두 방법들 간의 정확도의 차이는 거의 없는 반면 계산 효율에는 많은 차이를 보였다. 예제로써, 운전자의 귀 위치에서의 소음을 최소화 시키기 위한 자동차 실내 공간의 형상 최적화 문제를 다루었는데, 이 경우 초기형상에서 설계 민감도를 구하고 다음 번 설계로 진행하는데 걸리는 시간은 두 방법 모두 거의 비슷한 수준이었지만, 최종적인 최적 설계를 얻어 내기 위해서 많은 반복적 작업을 수행하는 과정에서 단일 영역 경계요소법을 이용하는 경우에는 처음과 비슷한 정도의 시간이 각 설계 진행 단계별로 걸렸지만, 다중 영역 경계요소법을 이용하는 경우에는 공통 부분 영역의 시스템 행렬들에 대한 정보를 추가적인 계산 없이 사용하기 때문에, 첫 단계 설계 변경 이후에는 상대적으로 아주 적은 계산 시간만이 필요하였다. 결과적으로, 최적 설계를 얻어내는데 걸리는 시간은 본 연구에서 제안한 다중 영역 경계요소법을 사용하는 방법이 훨씬 빠르게 된다. 따라서, 본 연구에서 연구되고 개발되어진 다중 영역 경계요소법을 이용한 방법들을 사용하면 기존의 단일 영역 경계요소법을 사용하는 것 보다 훨씬 편한 모델링과 빠른 계산 시간등의 이점을 얻을 수 있다.
