The discrete ordinates interpolation method (DOIM) developed for the numerical solution of the radiative transfer equation is applied to unstructured grid systems in arbitrary two- and three-dimensional geometries. Basic solution method is explained and the interpolation method applicable to an unstructured grid system is discussed. Several geometries with absorbing-emitting and nonscattering media with given temperature or in radiative equilibrium are considered to demonstrate the applicability and accuracy. The typical optical depths in the problem are changed from highly transparent (κL = 0.1) to highly opaque cases (κL = 10.0). The wall heat flux is calculated and compared with the exact solution or a reference.
In two-dimensional cases, the computations are performed for seven shapes such as a triangle, a quadrilateral enclosure, a hexagonal geometry, and a j-shaped enclosure, etc. In addition, the wall heat fluxes are calculated in unstructured grids as well as in structured grids. Especially in a square enclosure, the results of two different grid systems are compared with each other. In all of the tested cases, the solutions of the DOIM agree fairly well with the exact ones or the references. The results successfully reveal the applicability of the DOIM for any geometry and optical depth. Any grid system employed in FDM, FEM or FVM may be thus adopted and any desired level of numerical accuracy can be obtained with finer or imbedded grids.
Another series of sample computations for concentric circular and elliptical cylinders containing absorbing/emitting and nonscattering medium with no heat source is performed. The nondimensional emissive power and heat flux by the DOIM are calculated, and are compared with the reference Monte Carlo solutions. In case of concentric circular cylinder, the results of the DOIM generally agree well with those of Monte Carlo simulation. In the elliptical problem, when the wall is not black, the heat fluxes obtained using structured grids show some fluctuating trends, however, the results using unstructured grids yield smooth results. The reason for this fluctuation is due to the ray effect which originates from assuming a finite solid angle for a discrete ordinate.
The DOIM is also tested in three-dimensional enclosures. In a regular hexahedron enclosure, the radiative wall heat fluxes are calculated and compared with the exact solutions. The results are obtained for different optical depths (κL = 0.1, 1.0, 10.0). In addition, the same calculations are performed in an irregular hexahedron enclosure. The DOIM is applied to an unstructured grid system as well as to a structured grid system for the same regular hexahedron enclosure in three-dimensional coordinates. The results of the DOIM are compared with the exact solutions and the computational efficiencies are discussed. When compared with the exact solutions, the results of the DOIM are also in good agreement for three-dimensional enclosures. Furthermore, the DOIM can be easily applied to the unstructured three-dimensional grid systems, which proves the reliability and versatility of the DOIM in three-dimensional applications.
Lastly, methods of linking the computation results of grid intensities from the nonconservative DOIM to control volume approaches are described and tested. The control surface intensities may be obtained using control volume photon balance or weighted differencing scheme, or both. The obtained intensity distribution may result in an unrealistic zigzag pattern when the optical depth is large. To avoid this abnormal intensity distribution, two schemes are proposed. One is a quadratic scheme and the other is a decoration scheme. These schemes are tested for one and two-dimensional problems, either with given heat source or with prescribed temperature distributions. The two schemes are proved to be very successful for the given problems. The quadratic scheme shows more accurate results and no further decoration of grid intensities is needed in the tested cases. The results of the DOIM show similar or better accuracy as compared to those of the DOM.
As an appendix research, convergence enhancement of temperature computation for radiative equilibrium problems is presented. This is an important issue especially when the optical thickness is large, whatever radiation solver is employed. A fundamental property of radiative heat transfer is discussed and the convergence enhancement scheme is proposed with the aid of the zonal method. It showed greatly reduced number of iteration for convergence, sometimes with an additional computation time to calculate the related coefficients.
In conclusion, the DOIM is proved to be very reliable, versatile and accurate candidates of radiation analysis tool. Also, it is simple and easy to extend to more complicated and multi-dimensional problems.
복사전달방정식의 수치 해를 구하기 위한 구분종좌표보간법(DOIM)을 임의의 2, 3차원의 불규칙한 형상에 적용하였다. 이 방법에 대한 해석 방법과 비구조화 격자계에서도 적용될 수 있는 보간 방법 등을 제시하였다. 적용되는 문제들은 흡수 방사하고 산란을 하지 않는 매질을 고려하였고, 이 방법의 정확도와 적용성을 알아보기 위해 온도장이 주어진 문제 또는 복사 평형 문제를 다루었다. 광학 두께는 매질이 투명한 경우인 0.1 부터 매질이 불투명한 10까지 변화시켜가면서 문제를 해석하였다. 정확도를 알아보기 위해 벽면 열유속을 엄밀해와 정량적으로 비교하였다.
2차원 문제의 경우 삼각형, 불규칙한 사각형, 정육각형 등과 같은 여러 가지 형상의 문제에 구분종좌표보간법을 적용하였다. 그리고, 구조화 격자계뿐만 아니라 비구조화 격자계에서도 문제를 해석하였는데, 특히 정사각형 용기에서 두 개의 다른 격자계에서의 결과들을 정량적으로 비교하였다. 적용 결과들은 전체적으로 모두 엄밀해 또는 참고해와 잘 일치하고 있고, 어떠한 격자계에서도 높은 정확도를 유지하면서 적용이 용이하였다. 이것은 또한 이 방법이 유한 차분법, 유한 요소법, 유한 체적법 등에서 사용되는 격자계에 자유롭게 적용될 수 있다는 것을 의미한다.
구분종좌표보간법을 내부 열원은 존재하지 않고 흡수 방사하고 산란하지 않는 매질이 있는 동심원의 용기나 동심축의 타원형 용기에 적용하였다. 무차원화 방사도와 열유속을 계산하여 참고해인 몬테카를로 해와 비교하였다. 동심원 용기의 경우에 구분종좌표보간법의 결과들은 몬테카를로의 결과와 전체적으로 잘 일치한다. 동심 타원형 용기의 문제에서는 벽면이 흑체가 아닐 경우 구조화 격자계를 이용한 결과들은 약간의 변동이 보인다. 그러나, 비구조화 격자계를 이용할 경우 그러한 변동은 사라진다. 이러한 변동은 어떤 입체각을 하나의 종좌표로 가정함으로써 일어나는 광선 효과 때문이다.
구분종좌표보간법은 3차원 문제에도 적용되었다. 불규칙한 육면체 용기와 정육면체 용기에서의 바닥면 중앙에서의 열유속을 구하여 엄밀해와 비교하였다. 이 문제들은 광학두께가 0.1, 1.0, 10으로 변화 시켜가면서 달리 적용되었다. 또한 격자계도 구조화 격자계와 비구조화 격자계를 모두 이용하였는데, 그 결과들은 엄밀해와 잘 일치하고 있다. 이것은 이 방법이 3차원 문제와 3차원의 어떠한 격자계를 형성해도 잘 적용되는 것을 의미한다.
단지 격자점에서 결과들만 얻을 수 있는 구분종좌표보간법을 제어체적에 관한 개념을 도입하여, 이미 이 방법에 의해 계산된 결과들과 연결시키는 시도를 행하였다. 제어면에서의 복사강도는 제어체적 내의 광선의 정산 또는 공간 차분 방법 또는 두 개의 방법 모두를 이용해서 얻을 수 있다. 그런데, 이렇게 구한 복사강도의 분포가 물리적으로 타당하지 않는 지그재그 형태의 곡선을 이룰 수가 있다. 이런 경향을 보정하기 위해서 ‘2차법’과 ‘보정법’을 제시하였다. 이 방법들을 일정한 열원이 존재하거나 온도장이 주어진 1차원 문제에 대하여 검증 하였다. 주어진 문제에 적용된 2차법과 보정법은 합리적인 결과를 보여 주었다. 2차법은 더욱 정확한 결과를 보여주기 때문에 결과의 보정이 더 이상 필요 없게 되었다. 2 차법을 사용하지 않고, 선형 생성항을 사용하는 경우에는 결과가 지그재그 분포를 보일 수도 있다. 이러한 경우 여러 가지 보정법을 이용해서 지그재그 분포를 부드러운 분포로 보정할 수 있었다.
이와 같이 구분종좌표보간법은 간단하고 복잡한 문제에 적용이 쉽기 때문에 매우 신뢰성 있고, 정확한 복사 열전달 해석 방법이라고 할 수 있다.
