A pair of quasi-definite moment functionals ${u_0,u_1}$ is a generalized coherent pair if monic orthogonal polynomials ${P_n(x)}_{n=0}^∞$ and ${R_n(x)}_{n=0}^∞$ relative to $u_0$ and $u_1$, respectively, satisfy a relation
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where $σ_n$ and $τ_n$ are arbitrary constants, which may be zero.
If ${u_0,u_1}$ is a generalized coherent pair, then $u_0$ and $u_1$ must be semiclassical. We find conditions under which either $u_0$ or $u_1$ is classical. In such a case, we also determine the types of the "companion" moment functionals. Also some illustrating examples and two ways of generating generalized coherent pairs are given.
We also discuss the corresponding Sobolev orthogonal polynomials.
Secondly, for a quasi-definite moment functional σ and nonzero polynomials A(x) and D(x), we define another moment functionals τ by the relations
$D(x)τ=σ, τ=A(x)σ.$
In other words, τ is obtained from σ by a linear spectral transform. The necessary and sufficient conditions for τ to be quasi-definite are introduced. When τ is also quasi-definite, we also introduce a simple representation of orthogonal polynomials relative to τ in terms of orthogonal polynomials relative to σ.
Then we define another moment functional τ by the relation
$D(x)τ=A(x)σ.$
In other words, τ is obtained from σ by a linear spectral transform. We find necessary and sufficient conditions for τ to be quasi-definite when D(x) and A(x) have no non-trivial common factor. When τ is also quasi-definite, we also find a simple representation of orthogonal polynomials relative to τ in terms of orthogonal polynomials relative to σ. We also give two illustrating examples when σ is the Laguerre or Jacobi moment functional.
주어진 한 쌍의 quasi-definite인 moment functional ${u_0,u_1}$의 각각의 직교다항식이 ${P_n(x)}_{n=0}^∞$, ${R_n(x)}_{n=0}^∞$이라 할 때, 임의의 상수 $σgma_n$와 $τ_n$에 대해 다음의 관계식을 만족하면 generalized coherent pair라 한다.
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이것은 기존의 2항으로 정의된 coherent pair와 symmetrically coherent pair가 조합된 형태로 두 경우를 다 포함하며 또한 3항으로 확장된 형태이다.
만약 $\{u_0,u_1\}$이 generalized coherent pair이면 $u_0$, $u_1$은 semiclassical이 된다. 나아가 어떤 조건에서 $u_0$또는 $u_1$이 classical이 되는지를 알아보고 이러한 경우에 generalized coherent pair의 companion이 어떤 형태로 주어지는지 알아본다. 몇 가지 예제들을 살펴보고 generalized coherent pair를 만드는 방법을 알아본다.
또한, generalized coherent pair를 이용하여 generalized Fourier 계수를 계산하는 알고리즘을 소개한다.
다음으로 주어진 quasi-definite moment functional σ에 대해
$D(x)τ=σ, τ=A(x)σ$
형태로 정의된 새로운 moment functional τ가 어떤 조건에서 quasi-definite이 되는지를 알아보고, τ가 quasi-definite일 때 그 직교다항식이 어떤 형태로 주어지는지 소개한다.
보다 더 일반화하여, 주어진 quasi-definite moment functional σ에 대해
$D(x)τ=A(x)σ$
형태로 정의된 moment functional τ가 어떤 조건에서 quasi-definite이 되는지를 알아보고, τ가 quasi-definite일 때 그 직교다항식이 어떤 형태로 주어지는지 알아본다. 또한 Laguerre moment functional과 Jacobi moment functional인 경우의 예제를 소개한다.
