We study the convergence rate of an asymptotic expansion for the elliptic, parabolic and Stokes operators with rapidly oscillating coefficients. First we propose homogenized expansions which are convolution forms of Green function and given force term of elliptic equation. Then, using local $L^p$-theory, the growth rate of the perturbation of Green function is found. From the representation of elliptic solution by Green function, we estimate the convergence rate in $L^p$ space of the homogenized expansions to the exact solution. Next, we consider $L^{2}(0,T:H^1(Ω))$ or $L^{∞}( Ω × (0,T))$ convergence rate of the first order approximation for parabolic homogenization problems. Furthermore we deal with the Stokes equations with periodic viscosity and study its regularity. Finally, we present the numerical example.
이 논문에서는 높은 주기율을 가지는 타원형 방장식과 스톡스 방정식의 regularity를 구하였다. 먼저 타원형 방정식에서 우변의 주어진 함수가 $L^p$ 공간에 존재할때 방정식의 동질성 문제로부터 주어진 근사함수의 ε 에 대한 $L^p$ 근사를 구하였다. 그리고 parabolic 형식의 문제에서 공간의 변수에 높은 주기율이 주어진 식에대하여 $L^2(0,T:H^1(Ω)) ∩ L^∞ (0,T:L^2(Ω))$상에서의 수렴치를 구하였고 나아가서 $L^∞_{loc}(Ω × (0,T))$ 상에서 ε 에 대한 일차수렴치를 구하였다. 또한 스톡스 방정식에서 Campanato 형식의 적분 함수의 부분공간에서의 추정치를 구하였고 이것으로부터 $C^α$ 의 H$ö$lder 연속값을 구할수 있었다. 그리고 $H^1$공간에서 점근함수와 실함수 사이의 ε 수렴치를 구하였다. 마지막으로 새로운 수치적인 방법을 통해 일차와 이차공간 상에서 새로운 multiscale basis 를 생성하고 기존의 FEM linear basis와 결합한 새로운 형태의 basis 에 의한 수치 해석 방법으로 이것이 high oscillation 한 성질을 잘 나타내주는 수치 해임을 실험을 통해 알 수 있었다.
