The queueing models with vacation queues have been applied to many systems in various fields of industry. They also provide the solutions for performance evaluation of systems and we think that their applications are inexhaustible. For these reasons, recently, many researchers have studied on vacation queues with deep interest. In view of the results so far achieved, in case of vacation queues with single server, the distribution of the number of customers and their important performance evaluations have been known well. In addition to that, the fact that there is decomposition property between M/G/1 queues and M/G/1/MV queues have been proved. In spite of their efforts, however, due to model complexities and analytical difficulty, the researches on vacation queues with multiple servers of the exact expression have been not easily found in the literatures.
In this paper, we derive and show in priority the result of M/G/c/MV queues by more exact approaches considering the appropriate assumption. So, we analyze these queueing models with unconventional methods, such as the Supplementary Variable Technique and a Modified- Supplementary Variable Technique. In order to apply these approaches, we setup the system equations, supplement some variables and integrate them over supplementary variables. And then, we provide two expressions for the steady-state queue length distribution. With these results, we express the distribution of unfinished work in M/G/c/MV queues. And, we hope that they will be foundations of theoretical/approximated analysis on M/G/c/MV queues.
복수 휴가형 M/G/c 대기행렬 모형은 생산 시스템이나 통신 시스템 등 다양한 시스템들의 성능 분석을 위한 모델로 응용될 수 있는 대기행렬 모형 중의 하나로서 기존의 표준 M/G/c 대기행렬 모형에 서버의 복수 휴가를 고려한 모형이다. 복수 휴가형 M/G/c 대기행렬 모형에 대하여 정확하게 또는, 분석적으로 접근하여 정확한 해를 구하는 해법이 거의 알려져 있지 않다. 표준 M/G/c 대기행렬 모형에 대해서는 많은 분석 방법들과 수치 근사 방법들이 알려져 있지만 복수 휴가형 M/G/c 대기행렬 모형에 대한 주요 성능척도는 물론 고객 수 분포에 대해서는 모형의 복잡성으로 인하여 알려져 있는 결과가 없다. 이에 본 논문에서는 모형의 복잡성 때문에 분석하기 어려운 점을 적절한 가정을 고려하여 복수 휴가형 M/G/c 대기행렬 모형에서 주요 관심사인 고객 수 분포와 성능척도 중의 하나인 일량(Workload)의 분포를 나타내고자 한다. 또한 본 논문의 확장 연구로써 복수 휴가형 M/G/c 대기행렬 모형의 특수한 형태인 표준M/G/c 대기행렬에 대해서도 기존의 근사방법으로 얻은 결과와 다른 형태의 결과를 제시하고자 한다.
부가 변수법(Supplementary Variable Technique)은 분석하고자 하는 고객 수 확률 과정이 마코비안(Markovian) 성질을 갖지 않는 경우, 부가적인 상태변수를 추가로 도입하여 다변량 확률과정(multivariate process)을 만들어서 마코비안의 성질을 갖게끔 한 후, 안정상태 시스템 방정식을 세워 시스템을 분석하는 방법이다. 부가 변수법은 비록 계산량이 많다 하더라도 그 분석과정이 난해하지 않고 잘 정해진 순서만 직선적으로 따라가면 되기 때문에 대기행렬 모형을 분석하는데 비교적 널리 쓰이는 분석 방법이다. 부가 변수법에 의한 결과의 형태는 변환형태(transform expression)로 나타낼 수 있다. 부가 변수법에서의 동일한 안정상태 시스템 방정식을 사용하는, 유사한 분석 방법으로 수정 부가 변수법(Modified-Supplementary Variable Technique)이 있다. 이 방법에 의한 결과는 부가 변수법에 의한 결과와는 달리 변환이 아닌 형태(transform-free expression)로 나타난다. 이는 안정상태 시스템 방정식을 하나로 통합하지 않고 시스템 방정식을 각각 분석함으로써 얻어진다. 본 논문에서는 부가 변수법과 수정 부가 변수법을 복수 휴가형 M/G/c 대기행렬 모형과 표준 M/G/c 대기행렬 모형에 적용한다. 복수 휴가형 M/G/c 대기행렬 모형의 경우, 부가 변수법에 의한 결과는 부가 변수로 정의한 잔여 서비스 시간과 잔여 휴가, 그리고 고객 수와의 결합 변환 형태(joint transform expression)로 나타낼 수 있다. 표준 M/G/c 대기행렬 모형의 경우에는 잔여 서비스 시간과 고객 수와의 결합 변환 형태로 나타낼 수 있다. 도출한 결과를 바탕으로, 각 모형에 대한 일량의 분포를 나타내며 PASTA와 Burke의 정리를 증명할 수가 있다.
본 논문에서 도출한 고객 수 분포들은 비록 다수의 미지항들을 포함하고 있지만, 그 결과를 바탕으로 여러 성능 척도들을 유도해 낼 수 있으며 복수 휴가형M/G/c 모형의 이론적/근사적 분석의 토대가 될 수 있을 것이다.
