Sampling theory is studied by many people because of its mathematical interest and because of its importance for applications in the engineering. The main concerns of sampling theory are the followings: the space of functions which can be expressed as a series, sampling points, convergence, error estimation. Sampling theory is based on Shannon-Whittaker-Kotel`nikov sampling theorem. In this thesis, the main topic is to survey the important results of the sampling theory in Bernstein space. Bernstein space is closely related with Paley-Wiener space and a function of Paley-Wiener space is represented by some Fourier transform of functions with compact support. Kramer`s lemma gives some generalization for sampling formula for functions represented by some integral transform. And we give a convergence principle by the properties of Paley-Wiener space. And we survey the important results for irregular sampling with nonuniform sample. These results are developed by the theory of Riesz basis and we get a sampling formula that is similar to Lagrange interpolation formula. Finally, we will give a brief introduction for 1-channel and 2-channel sampling with some transformed data.
샘플링 이론은 수학 자체로도 흥미있고, 공학 분야를 응용하는 데에도 중요한 역할을 하기 때문에 많이 연구하고 있다. 여기서 관심있는 주제들은 다음과 같다. 샘플링 공식을 이용해 함수를 재구성할 수 있는 공간은 어떤 것들이 있는가? 샘플을 어떻게 뽑을 것인가? 샘플링 공식의 수렴성은 어떠한가? 샘플링 공식의 오차를 어떻게 추정할 것인가?
샘플링 이론은 Shannon-Wittaker-Kotel`nikov의 샘플링 정리를 중요한 근간으로 발전해왔다. 이 논문에서는 보다 발전한 형태인 Bernstein 공간에서의 중요한 샘플링 정리를 소개하고자 한다. Bernstein 공간은 Paley-Wiener 공간과 밀접한 관계를 갖고 있고 Paley-Wiener 공간의 함수들은 compact support를 갖는 함수의 푸리에 변환으로 나타난다. 한편, Kramer의 보조정리를 통해 다른 적분변환으로 표현할 수 있는 함수에 대해 샘플링 정리를 일반화할 수 있음을 소개하며 Paley-Wiener 공간의 성질을 통해 샘플링 공식의 수렴성에 대해 언급한다. 그리고, 균일 간격이 아닌 샘플로 얻을 수 있는 샘플링 공식을 소개한다. 이는 Riesz 기저의 이론을 통해 발전시킬 수 있으며,
이로 인해 얻게 되는 샘플링 공식이 일반적으로 알려진 Lagrange 보간법과 같은 형태가 됨을 소개한다. 마지막으로 변환된 함수의 샘플을 이용해 원래의 함수를 재구성하는 샘플링 공식으로서 1-채널 2-채널 샘플링 공식을 간단히 소개한다.
