This thesis is concerned with the design of statistical process control methods - univariate/multivariate control charts and process capability indices (PCIs) - for skewed populations with weighted standard deviations (WSDs). This thesis is divided into the following four parts.
(i) A univariate WSD method which approximates an arbitrary skewed univariate distribution with two normal distributions is proposed, and the method is applied to the univariate control charts - $\bar{X}$, cumulative sum, and exponentially weighted moving average charts. Control chart constants for skewed populations to estimate the standard deviation with subgroup ranges are derived, and an application example is given. The false alarm rates of these control charts are compared with those of standard and weighted variance (WV) control charts for lognormal, Weibull, and gamma distributions.
(ii) Univariate PCIs based on the WSD method - $C^WSD_p$ and $C^WSD_pk$ - are proposed. The proposed WSD PCIs modify the standard PCIs by considering the standard deviations above and below the process mean separately. For symmetric populations, however, theses indices reduce to the standard PCIs. Methods of parameter estimation are provided, and a bias correction factor is suggested. Finite sample properties are investigated, and asymptotic distributions are also derived. The proposed WSD PCIs are compared with standard, Clements`, and WV PCIs in terms of nonconforming proportion.
(iii) A multivariate WSD method which approximates a skewed multivariate distribution using segments of multivariate normal distributions is proposed, and the method is applied to the multivariate $T^2$ chart. This method reflects the skewness by adjusting the variance-covariance matrix with WSDs of each quality characteristic. Numerical comparisons between the WSD and standard $T^2$ charts are performed when the distribution is multivariate lognormal, Hougaard`s bivariate Weibull, or Cheriyan and Ramabhadran`s bivariate gamma.
(iv) Two multivariate WSD PCIs for skewed populations are presented. These methods use $T^2$ and modified process region approaches to evaluate the capability of a multivariate process, and the WSD method is applied to reflect the skewness. An illustrative example is given, and finite sample properties of the estimators are studied by means of relative bias and mean square error. The performance of theses methods is investigated by Monte Carlo simulation.
이 논문은 가중표준편차를 이용한 비대칭 모집단에 대한 통계적공정관리 기법의 설계에 관한 것으로, 단변량 관리도, 단변량 공정능력지수, 다변량 관리도, 다변량 공정능력지수의 네 부분으로 구성되어 있다.
첫째, 단변량 비대칭 분포를 서로 다른 표준편차를 갖는 두개의 정규분포를 이용하여 근사화하는 가중표준편차 방법을 제안하고, 이를 이용하여 $\bar{X}$, 누적합, 지수가중이동평균 관리도를 설계한다. 이 방법은 분포의 치우침 정도에 따라 공정평균 위쪽 부분의 퍼짐 정도와 아래쪽 부분의 퍼짐 정도가 서로 다르다는 점에 착안하여 공정의 표준편차를 둘로 나눈 후, 이를 이용하여 관리도의 타점통계량 혹은 관리한계선을 조정하는 것이다. 제안된 관리도들은 대칭인 모집단에 대해서 기존의 관리도들과 동일한 타점통계량 및 관리한계선을 제공한다. 비대칭 모집단으로부터 얻어진 부분군 자료로부터 표준편차를 추정하는데 사용되는 관리도상수를 제안하고, 모집단이 대수정규, 와이블, 감마분포를 따르는 경우에 대해 제안된 관리도들을 기존의 관리도들과 거짓경보비율 측면에서 비교한다.
둘째, 가중표준편차를 이용하여 비대칭 모집단에 대한 단변량 공정능력지수를 설계한다. 이 방법은 공정평균 위쪽의 표준편차와 아래쪽의 표준편차를 따로 고려함으로써 표본으로부터 얻어진 분포의 치우침 정도에 따라 공정능력지수의 값을 조정하는 것이다. 제안된 공정능력지수의 추정방법을 제시하고 추정량의 소표본 및 대표본 성질을 규명한다. 또한 제안된 방법이 불량률측면에서 공정의 능력을 어느 정도 정확하게 평가하는 가를 기존의 방법들과 비교하여 분석한다.
셋째, 비대칭 다변량 분포를 몇 개의 다변량 정규분포의 조합으로 근사화하는 다변량 가중표준편차 방법을 제안하고, 이를 다변량 $T^2$ 관리도에 적용한다. 이 방법은 품질특성치들의 상관관계행렬은 그대로 사용하고 분포의 퍼짐 정도를 나타내는 분산-공분산행렬을 각 품질특성치의 가중표준편차를 이용하여 조정하는 것으로써, 분포의 치우침을 타점통계량에 근사적으로 반영할 수 있다. 제안된 관리도는 다변량 정규분포 하에서 설계된 기존 $T^2$ 관리도의 관리한계선을 그대로 사용할 수 있어 대칭인 모집단에서는 정규분포 하에서 설계된 기존의 관리도와 동일하게 된다. 제안된 관리도의 성능을 다변량 대수정규, 와이블, 감마분포 하에서 기존의 관리도와 비교한다.
넷째, $T^2$ 통계량을 이용하는 방법과 타원체 형태의 품질특성치 영역을 다면체 형태의 규격 영역과 동일한 모양으로 변형하는 방법을 사용하여 다변량 모집단에 대한 두 종류의 공정능력지수를 제안한다. 또한 제안된 다변량 공정능력지수에 가중표준편차 방법을 적용하여 분포의 치우침을 고려할 수 있도록 한다. 실제 예제를 통하여 공정능력지수를 계산하는 방법을 살펴보고, 제안된 공정능력지수들의 성능을 모의실험을 통하여 분석한다. 또한 추정량의 소표본 성질을 규명한다.
