Proposed in this paper is the correspondence between anisotropic and isotropic elasticity for two-dimensional deformation, that is, the isotropic elasticity can be reconstructed in the same framework of the anisotropic elasticity, when the interface between dissimilar media lies along a straight line. Therefore, many known solutions for an anisotropic bimaterial are valid for a bimaterial, of which one or both of the constituent materials are isotropic. The usefulness of the correspondence is that the solutions for singularities and cracks in an anisotropic/isotropic bimaterial can easily be obtained without solving the boundary value problems directly. As general solutions, the interaction solutions of singularities, interfaces, and cracks in infinite anisotropic bimaterials are summarized. Conservation integrals also have the similar analogy between anisotropic and isotropic elasticity so that J integral and J-based mutual integral M are expressed in the same complex forms for anisotropic and isotropic materials, when both end points of the integration paths are on the straight interface.
Schwarz-Neumann’s alternating technique is applied to singularity problems in an anisotropic `trimaterial`, which denotes an infinite body composed of three dissimilar materials bonded along two parallel interfaces. It is well known that if the solution is known for singularities in a homogeneous anisotropic medium, the solution for the same singularities in an anisotropic bimaterial can be constructed by the method of analytic continuation. It is shown here that the solution for singularities in a homogeneous medium may also be used as a base of the solution for the same singularities in a trimaterial. The alternating technique is applied to derive the trimaterial solution in a series form, whose convergence is guaranteed. The energetic forces exerted on a dislocation due to interfaces are also evaluated from the trimaterial solution. The trimaterial solution studied here can be applied to a variety of problems, e.g. a bimaterial (including a half-plane problem), a finite thin film on semi-infinite substrate, and a finite strip of thin film, etc. Some examples are presented to verify the usefulness of the obtained solutions.
Singularity problems in an isotropic trimaterial are analyzed by the same procedure as in an anisotropic trimaterial, in which Muskhelishvili’s complex potentials are used. The method of analytic continuation is alternatively applied across the two parallel interfaces in order to derive the trimaterial solution in a series form from the corresponding homogeneous solution. A variety of problems, e.g. a bimaterial (including a half-plane problem), a finite thin film on semi-infinite substrate, and a finite strip of thin film, etc, can be analyzed as special cases of the present study. A film/substrate structure with a dislocation is exemplified to verify the usefulness of the solutions obtained.
Critical thickness, at which a misfit dislocation is formed in an epitaxial film on a substrate, is evaluated by using the solution of a dislocation in an anisotropic trimaterial obtained in this study, in which the elastic constants of the film is considered to be different from those of the substrate. It is discussed that beyond the critical thickness, strain relaxation due to the array of misfit dislocations and work hardening caused by the saturation of misfit dislocations can be also analyzed.
Cracking phenomena in tensile strained $In_{x}Ga_{1-x}As$ film deposited on InP substrate are analyzed, which are compared with the known experimental results. In doing so, the solution for a dislocation in an anisotropic trimaterial is used as a fundamental solution and the cracks are modeled by the continuous distributions of dislocations. Therefore, we can take into account the effects of the material anisotropy and elastic mismatch of film and substrate. It is surmised in this study that the crack growing and healing phenomena, which occurs when the film thickness increases, result from the interaction of an array of cracks.
본 연구에서는 탄성론에 근거하여 이종재료 및 삼종재료에서 특이성, 계면, 및 균열의 상호작용에 대한 기본 해를 구하고, 이를 이용하여 박막 또는 층상의 전자재료에서 발생하는 전위와 같은 결함이나 균열의 해석에 응용하였다.
먼저, 일반화된 2차원 변형에 대한 등방 탄성이론과 비등방 탄성이론 사이의 유사정리를 제안하였다. 즉, 이종재료 사이의 계면이 직선을 따라 접합된 경우에 등방 탄성이론은 비등방 탄성이론의 체계 안에서 동일하게 취급될 수 있음을 보였다. 그러므로 비등방 이종재료에 대하여 이미 알려진 많은 해들은 이종재료를 구성하는 두 재료 중 어느 하나 또는 둘 다가 등방 재료 일지라도 유효함을 알 수 있다. 이러한 유사정리의 유용성은 바로 비등방/등방 이종재료에서의 특이성 및 균열의 상호작용 문제의 해를 경계치 문제를 직접 풀지 않고도 얻을 수 있다는 점에 있다. 본 연구에서 또한 보존적분도 비등방 탄성이론과 등방 탄성이론 사이에 동일한 유사정리가 성립함을 보였다. 즉, J 적분과 J 기저 매개적분 M 또한 직선 계면을 갖는 이종재료에 대하여 비등방 또는 등방 재료에 관계없이 동일한 복소함수 형태로 표현됨을 알 수 있었다.
Schwarz-Neumann의 교번법을 이용하여 비등방 삼종재료 내의 특이성에 대한 탄성 해를 구하였다. 여기서 삼종재료란 세 개의 재료가 두 개의 평행한 계면을 따라 접합된 무한체를 뜻한다. 무한한 균질재료 내에 존재하는 특이성에 대한 해를 알고 있다면, 해석접속의 방법을 이용하여 동일한 특이성이 이종재료 내에 있을 때의 해를 구할 수 있다는 것은 잘 알려진 사실이다. 본 연구에서는 무한한 균질재료 내에 존재하는 특이성에 대한 해로부터 해석접속의 방법과 교번법을 이용하여 삼종재료 내에 동일한 특이성이 존재할 때의 해를 구할 수 있음을 보였다. 얻어진 해는 급수의 형태를 가지며 그 수렴성이 보장된다. 이러한 해석절차는 특이성의 물리적 특성에 제약을 받지않는 범용적인 방법이다. 계면 때문에 전위에 걸리는 형상력 또한 얻어진 삼종재료 내의 특이성에 대한 해로부터 구할 수 있었다. 얻어진 삼종재료의 해는 다양한 기하학적 형상의 문제에 응용될 수 있으며, 예제를 통해 이를 활용하였다.
비등방 삼종재료에 대하여 했던 것과 동일한 방법으로 등방 삼종재료 내의 특이성에 대한 해를 구하였다. 즉, 해석접속의 방법을 평행한 두 계면에 대하여 번갈아 가며 적용함으로써 급수의 형태로 해를 구하였다. 이때 Muskhelishvili의 복소함수를 이용하였다. 얻어진 삼종재료의 해는 다양한 기하학적 형상의 문제에 응용될 수 있으므로, 예제를 통해 그 유용성을 보였다.
박막/모재의 구조를 갖는 격잘 불일치 계에서 부정합 전위가 생기는 임계두께를 평가하였다. 이때 본 연구에서 얻은 비등방 삼종재료 내의 전위에 대한 해를 사용하였으므로, 재료의 비등방성과 박막과 모재의 물성차이의 효과를 고려할 수 있었다. 이러한 방법을 적용하면, 임계두께보다 박막의 두께가 두꺼워 졌을 때, 부정합 전위의 배열에 의해 발생하는 변형률 완화 현상과 부정합 전위의 포화 때문에 생기는 경화현상 또한 해석을 수행할 수 있다. 이러한 선형 탄성이론에 기초한 접근 방법의 제한조건에 대하여 살펴보았다.
InP 모재 위에 인장잔류응력을 갖는 $In_{x}Ga_{1-x}As$ 박막의 파괴현상을 해석하였다. 이때 본 연구에서 얻은 비등방 삼종재료 내의 전위에 대한 해를 사용하였고, 균열은 전위의 연속적인 분포로 모사 되었다. 그러므로 재료의 비등방성과 박막과 모재의 물성차이의 효과를 고려할 수 있었다. 해석결과를 알려진 실험결과와 비교, 분석되었는데, 임계두께 이상에서 균열의 성장과 닫힘 현상은 인접한 균열들간의 상호작용에 의한 것임을 추측할 수 있었다.
