Stochastic differential equation(SDE) is a main tool representing the continuous time stochastic process. It is used in modeling diffusion phenomena and widely applicable in pure and applied sciences.
SDE is closely related to partial differential equation (PDE) in such a way that the probability density function of $X_t$ is represented as the solution of a parabolic PDE. In many cases, the purpose of such density functions is to evaluate the expected value of some functionals of $X_t$ and there is an alternative numerical approach. In this thesis, we study on the two different approaches for SDEs i.e. direct time discrete approximations and PDE methods in particular for conditional diffusion processes.
In Chapter 2, we give a brief review on the numerical approximations for SDEs and we evaluate the exact strong convergence rate of the linearly interpolated numerical solutions and give an error bound of strong Euler scheme for `random` discretizations. For weak approximation, we suggest a simple and new random number generation method for systems of SDEs.
In Chapter 3, we study on boundary crossing time densities for 1 dimensional diffusion processes, the problem of which is closely related to the optimal estimation problems in Chapter 4 and 5.
In Chapter 4 and 5, we consider the excursion type conditional diffusion processes and evaluate the conditional densities by solving related parabolic PDEs. We derive the formulas for the forward and backward estimators as well as the interpolator. We give a numerical algorithm for general 1-dimensional diffusion process. We also suggest several different methods for Brownian motion process and compare the results by numerical simulations.
확률미분방정식(SDE)은 연속시간 연속상태의 확률과정을 표현하는 주요한 수단이며 여러가지 순수및 응용과학에서 확산 현상을 모델링하는데 이용되고 있다.
어떤 SDE의 해를 $X_t$ 라고 하면 각각의 t 시점에서의 확률밀도함수는 적당한 편미분방정식의 해로 표현이 된다. 많은 경우, 이러한 확률밀도함수를 구하는 목적은 적당한 함수 f에 대하여 $f(X_t)$의 기대치를 구하는 것이다. 이러한 목적을 위해 SDE를 직접 이산화하여 근사치를 얻는 방법이 개발되고 있다. 이 논문에서는 SDE의 분포를 구하는 이러한 두 가지 방법, 즉 직접 SDE를 이산화 하는 방법과 PDE를 풀어서 구하는 법, 특히 PDE를 이용해야만 풀 수 있는 조건부 확산과정의 분포를 구하는 방법을 다루었다.
2장에서는 고정된 이산시간에 대한 SDE의 근사방법에 대하여 간략히 정리하고 선형으로 보간된 수치해의 강한 수렴비율을 계산하였고, `확률적인`이산화에 대한 Euler 근사의 오차 상계를 구하였다. 약한 수치근사에 대해서는 SDE계에 대해서 간단하면서도 새로운 난수발생방법을 제안하였다. 3장에서는 1차원 확산과정에 대한 경계통과시간 확률분포를 계산하는 방법을 다루었고 4장과 5장에서는 PDE를 이용하여 excursion 형태의 조건이 더해진 SDE의 확률분포를 구하는 방법을 다루고, 전,후방 추정자, 보간자 등을 구하였다. 또한 1차원 확산과정에 대한 일반적인 수치 알고리듬을 제시하였고 각 추정자의 추정치를 비교 분석하였다.
