Because many notions of differential geometry is defined by the use of connections on differential manifolds, the study of connections on differential manifolds is important in differential geometry. Many mathematician research the invariant connections on Lie groups and homogeneous spaces by using algebraic language since Lie groups and homogeneous space have relations with Lie algebras. In this thesis, we classify the Riemannian invariant connections of Lie groups by determining the Riemannian algebras.
First, we see that Riemannian invariant connections is represented in terms of Riemannian algebras and review the relation between psuedo-Riemannian algebras of Lie groups and symmetric Lie algebras. We classify the symmetric Lie algebras of dimension 4, 5 and determine Riemannian invariant connections of Lie group of dimension 2, 3 by classifying Riemannian algebras of 2, 3-dimensional Lie group. In case of dimension 3, we determine Riemannian algebras by treating the unimodular and nonunimodular cases separately and show the relation between Riemanian algebras of unimodular Lie groups and Jacobi elliptic algebras. Finally, we classify Riemannian algebras of Heisenberg group.
많은 미분 기하학적 개념들이 접속을 이용하여 정의되어지기 때문에 접속에 관한 연구는 미분 기하학의 연구에서 매우 중요하다. 리 군과 균일 공간에서의 불변 접속은 리 대수와의 연관성으로 대수적 언어를 이용하여 많이 연구되고 있다. 이 논문은 리만 대수라는 대수적 언어를 이용하여 리 군의 리만 불변 접속을 분류하고 있다.
먼저, 우리는 리 군의 리만 불변 접속은 리만 대수로서 표현되어질 수 있음을 보게 된다. 또, 유사 리만 불변 접속과 대칭 리 대수와의 관계들을 개관한다. 다음에 우리는 4, 5 차원 대칭 리 대수를 분류한다. 그리고 2, 3차원 리 군의 리만 대수를 결정함으로써 리 군의 리만 접속을 분류하였다. 특히, 3차원에서는 리 군을 unimodular 리군과 nonunimodular 리 군으로 나누어서 분류하였다. unimodular 경우에서는 그것의 리만 대수가 자코비 타원 대수와 연관이 있음도 보였다. 그리고 마지막으로 우리는 하이젠버그 군의 리만 대수를 분류하였다.
