In this thesis, a dual-primal FETI method is applied for one dimensional Poisson problem with Dirichlet boundary condition. The domains of the problem is decomposed into nonoverlapping subdomains and the continuity of displacement on the interfaces between subdomains is enforced by the Lagrange multiplier and the continuity at corner points of subdomains are enforced exactly. By formulating FETI-DP method, we obtained a symmetric and positive definite system for Lagrange multipliers that are defined on interfaces between subdomains except corner points. We adapt the conjugate gradient method to solve the system. From the numerical result for this problem, we show that FETI-DP method is stable for the number of subdomains and meshes. Also demonstrate the optimal order of convergence of Q(h) is demonstrated as in the standard finite element spaces.
본 논문에서 Dirichlet 경계 조건을 가지는 Poisson problem 에 대해 FETI-DP 방법을 적용하고자 한다. 우선 주어진 영역을 $N_s$ 개의 순응 요소로 분할한 후, Lagrange multiplier λ를 도입하여 부분 영역들간의 경계를 연속적으로 이어주고, 부분 영역간의 꼭지점들은그 값을 직접적으로 같게 맞추어 준다. 이 문제를 FETI-DP 방법에서는 Lagrange multiplier와 꼭지점에서의 함수값을 미지수로 갖는 연립방정식으로 변형하고 꼭지점에서의 함수값을 소거하여 최종적으로 Lagrange multiplier에 관한 행렬식으로 재구성한다. 이때 만들어진 행렬는 sysmmetric positive definite 성질을 가지고 있기 때문에, conjugate gradient(CG) 반복법을 사용하여 λ값을 구한다. FETI-DP 방법으로 Poisson 문제를 계산한 결과, 부분 영역의 개수가 증가하거나 mesh의 개수가 증가하더라도 CG 방법의 반복 횟수는 크게 증가하지 않는다는 것을 알 수 있다. 또한, 실제 해와 근사 해의 $L_2$-norm 은 $O(h^2)$로써 일반적인 유한 요소법의 오차 수렴성을 보여준다는 사실을 확인할 수 있다.
