Total Variation(TV)regularization method is very effective for reconstructing "blocky", discontinuous, images from contaminated image with noise. But TV is represented by highly nonlinear integro-differential equation that is hard to solve. There have been many efforts to obtain stable and fast methods. C. Vogel[25] introduced "the Fixed Point Lagged Diffusivity Iteration", which solves the nonlinear equation by linearizing. In this thesis, we apply the Multigrid(MG) method for Cell Centered Finite Difference (CCFD) to solve system arise at each step of this fixed point iteration. We test many images varying noises and regularization parameter α and smoothness parameter β which appear in TV method. In this experiment, we know some facts. First, β is not sensitive. Second, all optimal values of αs at each picture are different. Third, the optimal value of α is directly proportional to the amount of noise. Fourth, If we lay great emphasis on removal noise, to use gradient norm($W^1_1$ semi-norm) is more suitable than to use $L^2$ norm for our purpose. Fifth, since a sharp and delicate edges tend to blunt, our denoising experiment is more effective board part than delicate part of picture.
noise가 첨가된 이미지로부터 원래의 이미지로 복원시키기 위해 사용하는 가장 효과적인 수학적 표현중 하나가 Total Variation(TV)regularization 이다. 이 방법은 이미지를 표현하는 함수가 "blocky"(piecewise continuous)하다는 것을 생각할 때 매우 적당한 방법이다. 다만 이 방법은 비선형 미분방정식을 풀어야 하는 어렵고도 불가피한 과정을 포함한다. 이 과정때문에 이미지 복원에 다양한 풀이가 생겨나게 되었다.
우리는 TV 방법으로 표현된 식을 Vogel이 [25]에서 소개했던 "the Fixed Point Lagged Diffusivity Iteration"을 사용하여 매 단계에서의 선형문제를 푸는 식으로 바꾸어 생각하고 각 단계에서의 선형 미분 방정식을 풀기 위해서는 ‘Cell Centered Finite Difference (CCFD)로 discretise 하고 Multigrid 방법을 적용한다. 실제로 다양한 특성을 가진 사진에 여러가지 noise 를 첨가한 후 원본을 복원하는 실험을 함으로써 여기서 적용한 방법들을 검증한다.
이 실험에서 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다. 첫째, β는 민감하지 않은 parameter이다. 둘째, 이미지 복원에 보다 효과적인 α의 값은 매 사진의 경우에 따라 달라진다. 셋째, 그러나 α의 값은 노이즈의 양에 비례하는 양상을 보인다. 넷째, 노이즈를 없애는 작업에 중점을 둔다면 최적화된 denoising image 를 위해서는 $L^2$ norm 을 사용하는 것보다 gradient norm($W^1_1$ semi-norm)울 사용하는 것이 효과적이다. 다섯째, 날카롭고 섬세한 모서리부분은 약간 뭉게지는 경향이 있기 때문에 우리가 사용한 denoising 실험은 그림의 섬세한 부분보다는 넓은 부분에 탁월한 효과를 보인다.
