This dissertation makes up a rigorous and systematic design procedure for gain scheduling control of nonlinear plants. The proposed design procedure consists of three steps of modeling a given nonlinear plant with a parameterized family of linear systems, designing local linear controllers covering the whole parameter space, and synthesizing an overall scheduled feedback controller through switching or interpolation.
Firstly, the equilibrium points of the system are parameterized. By investigating geometric characteristics of the set of equilibrium points, we find a sufficient condition for existence of the regular parameterized state and input functions defined on some parameter space. For the system whose scheduling parameter includes internal factors, a scheduling mapping determining the corresponding parameter value from the present equilibrium state is constructed. Along the parameterized equilibrium points, the system is linearized and its LPV model is represented in a form of error dynamics, where nonlinearities and parameter variation are contained in terms of norm-bounded time-varying parametric perturbation and external disturbance. Through quasi-LPV scheduling or Jacobian linearization, the general LPV model with norm-bounded external disturbance and norm-bounded time-varying perturbations is obtained.
Secondly, we embody a design procedure for a family of robust linear state feed-back controllers covering the whole parameter space. The design procedure is implemented by the LMI optimization. Stability and performance requirements such as quadratic stability and pole placement are expressed in LMI's, and uncertainty caused by tracking error and structured perturbations is modeled by a polytope of state-space matrices. The corresponding valid region about each design point in which the desired feedback properties hold is calculated from the upper bound of the uncertainties. Our LMI method calculates state feedback controllers satisfying stability and pole placement condition for the sectioned regions producing a family of linear controllers covering the whole parameter space. Consequently, a family of triplets of linear controllers, symmetric positive definite matrices, and valid parameter regions are obtained.
Thirdly, two synthesis methods for a scheduled feedback controller are proposed. From the previously designed family, switched gain-scheduled feedback controllers and interpolated gain-scheduled feedback controllers are built up. A switching rule between two consecutive local controllers is devised in order to preserve practical stability and the given error bound. Also, it is shown that transition between two equilibrium points is critically affected by both the waiting times between two consecutive local controllers along the transition path and the upper bounds of parameter rate-of-variation. The waiting times are determined by transient performance of local linear controllers such as steady-state error, settling time, etc. A multi-dimensional linear interpolation is proposed as a continuous scheduling method. Stability and performance properties described in the form of the LMI are preserved through our interpolation method. A sufficient condition that linearly interpolated state feedback controllers practically stabilize the given system is obtained by using Filippov's differential inclusion.
Lastly, a gain-scheduled autopilot for a BTT missile is implemented by using the LMI optimization and 2-dimensional linear interpolation. The proposed gain-scheduled autopilot controller is composed of one feedfowrad and two feedback controllers, where feedforward controller drives the system to the desired trim points corresponding to the given reference and two feedback controllers stabilize separately the error systems for pitch and yaw/roll axes about the trim points. The results of the nonlinear 6-DOF simulations show that the autopilot performs well in the nonlinear missile dynamics with uncertainty in its aerodynamic coefficients while the operating condition varies over wide region. It is shown that the proposed design method using robust linear control design and linear interpolation can be applied successfully for design of gain-scheduled controllers for nonlinear plants including BTT missile systems.
본 논문은 비선형 시스템을 위한 이득 조절 제어기를 설계하는 체계적인 방법을 구성하는 것을 목적으로 한다. 본 논문에서 제안하는 방법은 주이진 비선형 시스템을 매개 변수화된 선형 시스템들로 모델링하고, 그 선형 모델을 바탕으로 전체 매개 변수 공간을 덮는 선형 제어기의 집합을 설계한 후, 스위칭이나 보간법을 이용해서 전역 제어기를 구성하는 세 단계로 구분된다.
첫 부분에서는 시스템의 평형점들을 매개 변수화한다. 평형점이 갖는 기하학적인 특성들을 분석하여 매개 변수 공간 위에서 정합성을 갖는 매개 변수 상태 함수와 입력 함수를 정의할 수 있는 충분 조건을 찾는다. 내부 인자의 함수로 표현되는 조절 매개 변수가 시스템에 있을 경우에는 현재의 평형점으로부터, 해당하는 매개 변수 값을 도출해내기 위해 조절 함수를 설계한다. 매개 변수화된 평형점 부근에서 선형화할 때, 원래 시스템의 에러 동력학은 유한한 크기를 갖는 시변 구조적인 불확실성과 외란을 포함하는 LPV 시스템으로 모델링된다.
두 번째 부분에서는 강인성을 갖는 국소 선형 제어기를 설계하는 방법을 구체화한다. 설계 과정은 LMI 최적화 방법을 통하여 구현된다. 2차 안정성과 극값 배치와 같은 안정성 및 성능 조건들은 LMI로 주어지고, 추종 오차와 구조적인 섭동이 야기하는 불확실성은 시스템 행렬들의 폴리토프로 모델링된다. 이 설계 과정을 통해 2차 안정성과 극값 배치 특성을 만족시키면서 전체 매개 변수 공간을 덮는 선형 제어기의 집합이 얻어진다. 그 외에 최적화 과정에서 도출된 대칭 양의 정부호 행렬과 제어기가 의도한 안정성과 성능을 갖는 매개 변수 영역의 집합이 얻어진다.
세 번째 부분에서는 전역 조절 제어기를 합성하는 두 가지 방법이 제시된다. 앞서 설계된 결과로부터 스위칭 이득 조절 제어기와 보간된 이득 조절 제어기가 구성된다. 스위칭 이득 조절 제어기에서 두 제어기 사이의 스위칭 규칙은 주어진 오차 범위를 만족하면서 안정성을 보장한다. 스위칭 메커니즘의 분석은 평형점 간의 천이는 연속적으로 이어지는 제어기 사이의 대기 시간과 각 제어기가 허용할 수 있는 속도에 의해 심각하게 영향받는다는 것을 보여준다. 이 때의 대기 시간은 각 제어기들의 시 응답 특성에 의해 결정된다. 연속성을 갖는 조절 방법으로 다변수 선형 보간법이 제시된다. LMI 형태로 주어진 안정성과 성능 특성들은 논문에서 제시한 보간법으로 제어기가 설계된 후에도 유지된다. Filippov의 미분 소속과 같은 불연속 해석법을 통해 폐루프 시스템의 안정성이 분석된다.
마지막으로, BTT 미사일의 이득 조절 오토 파일럿이 LMI 최적화와 2 차원 선형 보간법을 사용하여 구현된다. 제안된 오토 파일럿 이득 조절 제어기는 한 개의 피드포워드 제어기와 두 개의 피드백 제어기로 구성되어 있다. 여기서 피드포워드 제어기는 미사일 시스템을 주어진 기준 신호에 맞는 평형점에서 동작하게하는 역할을 하고, 두 개의 피드백 제어기는 각각 수평축과 수직축에 대해서 에러 동력학을 안정화하는 역할을 맞는다. 비선형 6 자유도 시뮬레이션을 통해서 불확실성을 갖는 공력계수에 대해서도 넓은 매개 변수 영역에서도 잘 동작함을 보여줄 뿐 아니라, 논문에서 제안된 설계 방법이 BTT 미사일 시스템을 포함하는 비선형 시스템을 위한 이득 조절 방법으로 성공적으로 적용될 수 있다는 것을 보여준다.
