First, we introduce the concept and general theory for Sobolev orthogonal polynomials with respect to
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where $λ_0=1$, $λ_i≥0$ for 1≤i≤N, and $(μ_i)^N_{i=0}$ are positive finite Borel measures. When σ is a quasi-definite moment functional on $\Bbb{P}$, the space of polynomials in one variable with the monic orthogonal polynomial system ${P_n(x)}^∞_{n=0}$ we consider a symmetric bilinear form φ(ㆍ,ㆍ) on $\Bbb{P}×\Bbb{P}$ defined by
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where λ, μ, a, b are complex numbers and r,s are non-negative integers. We find a necessary and sufficient condition under which there is an orthogonal polynomial system ${P_n(x)}^∞_{n=0}$ relative to φ(ㆍ,ㆍ) and discuss algebraic properties of ${P_n(x)}^∞_{n=0}$. When σ semi-classical, we show that ${P_n(x)}^∞_{n=0}$ must satisfy a second order differential equation with polynomial coefficients. When σ is positive-definite and λ, μ, a, b are real, we investigate the relations between zeros of ${P_n(x)}^∞_{n=0}$ and ${P_n(x)}^∞_{n=0}$.
We consider a point masses perturbation τ of σ given by
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where λ, Ulk, and $c_l$ are constants with $c_i ≠ c_j$ for i ≠ j. That is, τ is a generalized Uvarov transform of σ satisfying
A(x)τ = A(x)σ
where $A(x)=\prod\limits_{l=1}^{m}(x-c_{l})^{m_{l}+1}.$ We find necessary and sufficient conditions for τ to be quasi-definite. We also discuss various properties of monic orthogonal polynomial system ${P_n(x)}^∞_{n=0}$ relative to τ including two examples.
We investigate the limiting behavior as γ tends to ∞ of the best polynomial approximations in the Sobolev-Laguerre space $W^{N,2}([0,∞);e^{-x})$ and Sobolev-Legendre space $W^{N,2}([-1,1])$ with respect to the Sobolev-Laguerre inner product
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and Sobolev-Legendre inner product
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respectively, where $a_0=1$ , $a_k ≥ 0$, 1 ≤ k ≤ N - 1, γ ＞ 0 and N ≥ 1 is an integer.
Finally, we consider a Sobolev-Jacobi inner product
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We show that a Sobolev orthogonal polynomial $S^(γ)_n(x)$ with respect to φ(ㆍ,ㆍ) has n real simple zeros which interlace with those of Jacobi orthogonal polynomial $P^(α,β)_n(x).$
소보레프 직교 다항식의 개념과 일반적인 성질에 대해 알아보고, 특히 다음과 같은 두가지 Sobolev 형태의 bilinear form
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이 직교 다항식을 갖기 위한 필요충분 조건을 찾고, 그 다항식의 성질과 근의 분포에 대해 연구한다. 4장에서는 Stieltjes type meromorphic 함수에 대한 $Padé$ approximents 의 분모는 다음과 같은 measure에 대해 직교성을 갖는데,
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위의 measure는 moment functional σ 에 대한 일반적인 Uvarov
A(x)τ = A(x)σ
와 같은 moment functional의 division 문제를 푸는 것이 된다. 여기서 우리는 위와 같은 moment functional τ가 직교 다항식을 갖기 위한 필요충분 조건과 그 다항식의 성질에 대해 알아 본다. 6장에서는 아래와 같은 Sobolev-Laguerre 와 Sovolev-Legendre 내적을 갖는
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Sobolev-Laguerre 공간과 Sovolev-Legendre 공간에 있는 어떤 함수의 최적 다항식 근사들(best polynomial approximations)이 γ가 무한으로 움직일 때 그 최적 다항식의 변화에 대해 연구하고, 그러한 내적에 대한 Sobolev 직교 다항식의 성질에 대해 연구 한다. 마지막으로 다음과 같은 Sobolev-Jacobi 내적에서의
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여기서 γ >0, α >-1, β >-1 일 때 Sobolev-Jacobi 직교 다항식의 근의 분포에 관해 연구 한다.
