The convergence rate of the expectation of the logarithm of the first return time is investigated. An algorithm for obtaining the probability distribution of the first return time for the initial n-block with overlapping is presented.
For a Markov chain it is shown that $R_n(x)P_n(x)$ converges to exponential distribution in distribution and that $E[log(R_n(x)P_n(x))]$ converges to Euler`s constant, where $R_n(x)$ is the first return time of the initial n-block $x_1…x_n$ and $P_n(x)$ is the probability of $x_1…x_n$. The nonoverlapping first return time $R_(n)$ for ψ-mixing processes holds the same formula.
A formula is proposed for measuring entropy for the given Markov chain and some simulation is done to show the accuracy of it. Finally, the algorithm for the probability distribution is applied to test the performance of pseudorandom number generators.
본 논문에서는 최초회귀시간의 로그의 기대값의 수렴속도가 연구하였으며, 각각의 n-블록에 대하여 최초회귀시간의 확률분포를 얻을 수 있는 방법을 고안하였다.
$P_n(x)$을 처음 n-블록이 나타날 확률이라 하고 $R_n(x)$을 처음 n-블록이 다시 나타나는 최초회귀시간이라 하였을때, 마르코프 연쇄의 경우 n이 커짐에 따라 $R_n(x)P_n(x)$ 가의 분포가 지수 분포로 수렴함을 보였다. 또한 $log^k(R_n(x)P_n(x))$가 균등 적분가능 임을 보임으로써 $E[log(R_n(x)P_n(x))]$가 오일러 상수로 수렴하고 Var$[log(R_n(x)P_n(x))]$는 π/6으로 수렴함을 보였다.
마찬가지로 $R_(n)$을 중첩없는 최초회귀시간이라 놓았을때. ψ-혼합인 경우 위와 같은 성질을 가짐을 보였다.
이러한 수렴성을 이용하여 마르코프 연쇄의 엔트로피를 측정하는 공식을 만들었으며 모의 실험을 통하여 정확도를 살펴보았다. 마지막으로 확률분포를 구하는 알고리듬을 이용하여 의사난수발생기의 성능 검정법을 개발하였다.
