One of traditions in knot theory is to study a family of knots satisfying a certain condition. Examples of such families include the family of torus knots studied by Dehn and Schreier and the family of 2-bridge knots studied by Schubert, Montesinos and Conway. These classes can be referred as the classes of knots and links indexed by the pairs (g,b) of non-negative integers as defined in [10]. A (g,b)-knot can be embedded in a Heegaard surface of genus g in M except at b over(or under)-bridges and vice versa. Torus knots are (1,0)-knots and 2-bridge knots are (0,2)-knots. Clearly the family of (g,b)-knots becomes strictly larger as g or b increases. Since an over-bridge can be removed by adding a handle and by embedding the over-bridge into the added handle, (g,b)-knots are contained in the family of (g+1,b-1)-knots.
In this thesis we study 1-bridge torus knots, that is, (1,1)-knots in a 3-manifold. A 1-bridge torus knot in a 3-manifold of genus ≤ 1 is a knot drawn on a Heegaard torus with one bridge. We give two types of normal forms to parameterize the family of 1-bridge torus knots that are similar to the Schubert`s normal form and the Conway`s normal form for 2-bridge knots. For a given Schubert`s normal form we give algorithms to determine the number of components and to compute the fundamental group of the complement when the normal form determines a knot. We also give a description of the double branched cover of an ambient 3-manifold branched along a 1-bridge torus knot by using its Conway`s normal form and obtain an explicit formula for the first homology of the double cover. We also observe a subfamily of 1-bridge torus knots with Schubert`s normal forms $S(r,s,0,ε(s-1))_ε$ and so classify them by using their genera and Jones polynomials.
매듭이론을 연구하는 전통적인 방법 중의 한가지는 특별한 성질을 가지는 매듭류를 분류하는 것이다. 토러스 매듭과 2-교각 매듭은 이러한 연구 방법에 의해 분류된 대표적인 매듭류이다. 이에, 본 소고에서는 토러스 매듭과 2-교각 매듭을 포함하는 1-교각 토러스 매듭류에 관한 연구를 수행하였다. 일반적으로 1-교각 토러스 매듭은 종수가 1이하인 3차원 다양체의 히가드 곡면위에 하나의 교각을 이용하여 그려질 수 있는 매듭류를 의미한다. 본 소고에서는 1-교각 토러스 매듭류의 연구를 위해 1-교각 토러스 매듭을 모두 표현할 수 있는 두가지 표현법-Schubert`s normal form 과 Conway`s normal form-을 제시하였다.
Schubert`s normal form 은 토러스 위에 매장되어 있는 끝이 고정된 선분을 분류함으로써 얻어질 수 있었다. 1-교각 토러스 매듭의 Schubert`s normal form 을 이용하여 1-교각 토러스 매듭 여공간의 기본군과 1차원 호몰로지군을 계산할 수 있었다.
Conway`s normal form 은 구멍이 두 개 있는 토러스의 사상류군(mapping class group)을 연구함으로써 얻어질 수 있었다. 1-교각 토러스 매듭에 대한 Conway`s normal form 은 매듭의 가지친 2겹 덮개(double branched cover branched along the knot) 의 구조를 찾는 연구에 유용하게 사용되었고, 나아가 매듭 불변량인 가지친 2겹 덮개의 1차원 호몰로지군을 계산할 수 있었다.
Schubert`s normal form 은 네 개의 정수들로 표현되는데, 이에 네 개의 매개 정수에 특별한 조건을 줌으로써 1-교각 토러스 매듭류의 부분류를 연구할 수 있다. 이에 Schubert`s normal form을 이용하여 1-교각 토러스 매듭류의 특별한 부분류 분류에 성공하였다. 이는, 매듭의 종수와 Jones 다항식을 계산함으로써 얻어질 수 있었다.
