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Generation of class fields by the modular functions = 보형함수의 특이값에 의한 유체의 생성
서명 / 저자 Generation of class fields by the modular functions = 보형함수의 특이값에 의한 유체의 생성 / Kuk-Jin Hong.
저자명 Hong, Kuk-Jin ; 홍국진
발행사항 [대전 : 한국과학기술원, 2002].
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DMA 02004

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In this thesis we mainly focus on the generation of class fields over an imaginary quadratic field by singular values of some elliptic modular functions. In particular, as is well-known in the class field theory, the ray class fields over an algebraic number field $K$ correspond to specific congruence subgroups $P_{K,1}$, which are the most extreme cases. In the imaginary quadratic cases, we discovered that these groups $P_{K,1}$ are concerned with the structure of the congruence subgroups $\Gamma_{1}(N)$ of the full modular group $SL_{2}(\mathbb Z)$ and singular value(s) of the generator(s) of the modular function field $K(X_{1}(N))$. \par When the genus of the modular curve $X_{1}(N)$ is zero, i.e. $1\leq N \leq 10$ or $N=12$, $K(X_{1}(N))$ is a rational function field over $\mathbb C$. In these cases, we can generate the ray class field $K_{(N)}$ (resp. $K_{\mathfrak f}$) with modulus $N$ (resp. an ideal $\mathfrak f$ strictly dividing $N$) by one singular value of the generator which generates $K(X_{1}(N))$. However, when the genus of $X_{1}(N)$ is equal to or greater than one, there is certain universal generation of the modular function field $K(X_{1}(N))$, which is generated by two modular functions over $\mathbb C$. In these cases, we can generate ray class fields $K_{\mathfrak f}$ universally by making use of this result.

본 학위논문에서는 보형함수의 특이값을 이용한 복소이차체상의 유체를 구성하는 문제를 연구한다. 1900년 Paris ICM에서 D.Hilbert가 제시하였던 23문제 중 12번째 문제가 ``임의의 대수체의 초월함수의 특이값에 의한 유체의 구성"이다. 본문제의 해결을 위해서 우선, Shimura의 방법을 이용하여 Hecke Type과 Gamma-1 Type의 보형곡선의 종수가 0인 경우에 한하여 복소이차체위의 유체를 구성한다. 한편 Gamma-1 Type중 $N=12$일때 Chen-Yui의 방법으로 `Hilbert 의미`에서 복소이차체위의 放射類體(ray class field)와 環類體(ring class field)를 단일생성자로 구현할 수 있다. 또한, Gamma-1 Type의 보형곡선의 종수가 1이상일 때는 Gamma-1 Type의 보형함수체가 두개의 생성자로 이루어진다는 Ishii-Ishida의 결과를 이용하여 복소이차체위의 방사유체를 두개의 생성자로 구현할 수 있다. 이 구현에서 중요한 점은, Ishii-Ishida가 제안한 생성자가 이루는 대수곡선 $F_{N}$은 특이점해소(resolution of singularities)가 이루어지지 않은 아핀형태의 곡선이므로 일반적으로 생성자들의 특이값이 구성하는 곡선위의 점이 비특이점(nonsingular point)임을 보장하지 못한다. 이 점들이 비특이점임을 가정해야만 $N\geq 7$인 모든 자연수에 대하여 두개의 생성자로 복소이차체위의 방사유체를 구현할 수 있는 것이다. 특이점해소가 이루어진 곡선의 함수체의 생성자의 개수는 원래의 것보다 늘어나므로 유체의 생성자의 개수를 줄이려는 시도를 주안점으로 놓은 본 논문의 입장으로는 바람직하지 못하다고 할 수 있다. Ishii-Ishida가 제안한 대수곡선 $F_{N}$이 어떠한 조건에서 비특이인지, 특이곡선일 때는 어떠한 종류의 특이점을 갖는지는 아직 미해결 문제로 남아있다.

서지기타정보

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청구기호 {DMA 02004
형태사항 vi, 71 p. : 삽도 ; 26 cm
언어 영어
일반주기 Includes appendix
저자명의 한글표기 : 홍국진
지도교수의 영문표기 : Ja-Kyung Koo
지도교수의 한글표기 : 구자경
수록잡지명 : "Generation of class fields by the modular function $j_{1,12}$ ". Acta arithmetica, 93, pp.257-291 (2000)
학위논문 학위논문(박사) - 한국과학기술원 : 수학전공,
서지주기 Reference : p. 67-69
주제 Automorphic functions, modular functions
modular forms
class field theory
보형함수
모듈러형식
유체론
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