This thesis considers convergence analysis and effectiveness of multigrid method for certain higher order finite difference discretizations and 2nd order cell-centered finite difference of partial differential equations. First we deal with multigird algorithm for MVS(mean value scheme). MVS gets $h^6$ order accuracy through the symmetry of grid points for the Helmholtz equation. We apply multigrid algorithm to this discretization and prove convergence. We estimate the energy norm of prolongation operator and show that it strictly less than 1. According to the results in [15], we have V-cycle convergence. It is well known that the multigrid condition number for standard Laplace equation on the unit square is about 1.5. This is fast and most people believe that this is the fastest example. But, in numerical simulation, our multigrid scheme is faster than the standard one. This is in accordance with the result of our estimation.
Next, we consider compact scheme. Compact scheme is a discretization on rectangular domain using both axis parallel finite differences and diagonal ones. So this scheme has 9-point stencil while the standard scheme is 5-point. This gives $h^6$(mesh size=h) order for smooth solutions and better accuracy than that $h^2$ of standard finite difference discretization. The multigrid convergence of the stand finite difference is considered in [15] and V-cycle convergence is proved. In this thesis, we consider the compact scheme and show the V-cycle multigrid convergence by energy norm estimation. In numerical simulation we can see that multigrid of compact scheme is faster than that of the standard one.
Finally, we consider the cell-centered finite difference(CCFD) for elliptic partial differential equation with discontinuous coefficient. The cell-centered finite difference is a finite volume type of method and has been widely used by engineers due to its simplicity and local conservation property. As shown in [38], multigrid algorithm with certain weighted prolongation works well for CCFD with smooth coefficient but it still shows poor convergence for problems with discontinuous coefficient. We design a new prolongation with which multigrid works well for both smooth and discontinuous problems.
본 논문에서는 미분방정식의 고차 유한 차분 방정식과 2차의 cell-centered 차분방정식의 다중격자법의 수렴성과 효율성에 관해 다룬다. 우선 평균값방법(Mean Value Scheme)에 다중격자법을 적용하였다. 평균값방법은 Helmholtz방정식을 고차의 이산화를 한 것으로 $h^6$의 정확성을 보인다. 이 이산화에 다중격자법을 적용하였고 그 수렴성과 수렴속도에 관한 결과들을 얻었다. prolongation operator의 energy norm을 계산 하였고 이것이 1보다 작음을 보였다. 이 energy norm이 1보다 작거나 같음은 Bramble et. al.이 쓴 [15]에 있는 결과를 이용하여 V-cycle다중격자법의 수렴성을 보였다. 지금까지 보고된 다중격자법의 수렴속도와 효율성은 사각형에서 Laplace방정식에 적용했을 때 가장 좋았던 것으로 알려져 있다. 수치적 실험을 통한 결과를 보면 MVS방법에 적용한 다중격자법은 이를 능가하는 수렴속도를 보였고 이것이 위의 energy norm의 계산 결과에 부합하는 것이다.
다음으로 compact scheme에 대한 다중격자법을 이야기 하겠다. 사격형 격자에서 compact scheme은 사각형 격자에서 이산화한 유한차분법의 일종이다. 이 방법의 정확성은 $h^6$으로 사각형 격자에서 일반적인 유한 격자법의 정확성은 격자크기(h)에 제곱수의 상수배($Ch^2$)에 비해 더 나은 해를 구할 수 있다. 이 방법은 한 점 근처의 자신을 포함한 9점을 이용하고 일반적인 유한 차분법은 5개의 점을 이용하게 된다. 2차의 유한 차분법의 다중격자법에 대한 V-cycle 수렴성과 효율성은 이미 잘 알려져 있다. 이 논문에서는 compact scheme에 대한 수렴성과 효률성에 다룬다. Compact scheme의 다중격자법도 2차 유한 차분법과 같이 V-cycle 다중격자법이 수렴한다. 수치적 실험 결과 2차 유한 차분법의 다중격자보다 빠른 수렴속도를 보였다.
마지막으로, 불연속계수를 갖는 타원형 편미분방정식의 cell-centered 유한차분법을 생각한다. Cell-centered 유한차분법은 이산화가 간단하고 국부적인 보존성질로 인해 많은 공학에서 널리 쓰이고 있는 방법중 하나이다. 이 방정식에 다중격자법은 계수가 smooth할 때는 적당한 prolongation을 사용하면 잘 된다[38]. 그러나 계수가 불연속일 경우에는 여전히 수렴속도가 느리다. 우리는 새로운 prolongation을 개발하였고 이 prolongation을 갖는 다중격자법은 계수가 smooth한 경우나 불연속인 경우나 모두 빠른 수렴속도를 보였다.
