We analyze three complex queueing models. The models considered in this dissertation have many applications in computer and telecommunication networks including IP (Internet Protocol) and ATM (Asynchronous Transfer Mode) networks which provide multimedia services. In view of this, we deal with discrete-time priority queue with generalized vacations and structured batch arrivals, multiserver queue with deterministic service time and correlated arrivals, and finite-capacity queue with general bulk (batch) service rules and correlated arrivals.
Three queues considered in this dissertation are sufficiently complex and generalized queueing models. We develop simple approaches for the three complex queues. First, we show the invariant relation of the queue waiting time between two priority queues. With this relation, one does not have to analyze two models separately as did in the traditional queueing theory. Second, the waiting time distribution of multiserver queue with constant service time is given through investigating a property inherent in the multiserver queue with constant service time. With the property, we can get the waiting time distribution of multiserver queue from those of single server queue. Third, we investigate generalized . bulk service queues. We derive the relation between departure epoch- and random epoch-probability of the number of customers using the concept of the mean sojourn time of the phase of underlying Markov chain of D-BMAP (discrete-time batch Markovian arrival process) so that we can avoid using the lengthy approach of the supplementary variable technique.
본 연구는 멀티미디어 서비스를 제공하는 ATM(Asynchronous Transfer Mode)과 IP(Internet Protocol) 네트워크에 응용성이 높은 이산시간(discrete-time) 대기행렬 모형에 대한 분석을 목표로 한다. 본 연구에서는 (i) 우선순위 대기행렬 모형, (ii) 고정된(constant) 서비스 시간을 가지는 복수서버(multiserver) 모형, (iii) 집단 서비스(bulk service) 모형을 이산시간 M/G/1-형 대기행렬이라는 큰 틀 아래에서 분석한다.
우선순위 대기행렬 모형에 대한 분석은 2장에 제시되어 있다. 우선순위 대기행렬 모형은 여러 계층(class)의 고객이 존재하고, 각 계층의 중요도에 따라서 계층 사이에 서비스의 우선순위가 존재하는 모형이다. 우선순위 대기행렬 모형은 최근 정보통신 분야에서 진행되고 있는 서비스 다양화와 이로 인한 서비스 품질(Quality of Service)의 차별화를 반영할 수 있는 모형이다.
우선순위 대기행렬모형은 우선순위 정책에 따라서 비축출형(nonpreemptive)과 축출계속형(preemptive-resume)으로 나뉜다. 본 연구에서는 고객 도착이 집단(batch)으로 일어나고, 도착시 각 계층별 고객수의 분포에 correlation이 있는 복잡한 이산시간 우선순위 대기행렬 모형에 대한 분석을 시도했으며, 대표적인 두 우선순위 정책하에서 대기시간(delay)의 분포를 일정한 관계(invariance property)로 표현했다. 이에 따라 상대적으로 분석이 용이한 축출계속형을 분석함으로써 분석이 어려운 비축출형의 결과를 동시에 얻을 수 있게 되었다.
3장에서 다루고 있는 복수서버(multiserver) 모형은 고정된 서비스 시간(constant service time)을 가지는 복수서버 모형이다. 본 연구에서는 고정된 서비스 시간을 가지는 복수서버 모형에서 고객이 도착 순서대로 이탈하게 된다는 기본적인 특성에 착안하여, 복수서버 모형과 단일서버 (single server) 모형 사이에서 성립하는 대기시간의 관계를 유도했다. 그 결과, 복잡한 복수서버 모형의 분석을 상대적으로 간단한 단일서버 모형으로 환원할 수 있음을 보였다. 고정된 서비스 시간을 가지는 복수서버 모형의 이러한 특징은 Iversen (1983)에 의해 고객의 도착간격이 독립인 Poisson 과정에 따라 이루어지는 연속시간 모형에 대해서는 밝혀진 바 있다. 본 연구에서는 이를 고객의 도착간격에 correlation이 있는 D-MAP(Discrete-time Markovian Arrival Process) 도착 과정을 가지는 이산시간 모형으로 확장하였다.
4, 5장에서는 일반화된(generalized) 집단 서비스 정책의 대표적인 두 가지 모형에 대해서 다루고 있다. 두 가지 모형은 Threshold 모형(4장)과 Random bulk-size 모형(5장)이다. Threshold 모형에서는 대기 중인 고객이 특정 인원수 이상이 되어야만 집단 서비스를 시작하고, 서비스는 서버의 최대 용량까지 한꺼번에 제공된다. Random bulk-size 모형은 집단 서비스의 용량이 매 서비스 시작 시점에서 확률적으로 결정되는 모형이다. 두 모형 모두 고객의 도착간격에 correlation이 있는 경우에 대해서 분석하였다. 분석의 방법은 상대적으로 분석이 쉬운 고객의 이탈시점에 대한 분석을 먼저 하고, 각 모형의 특성에서 기인하는 이탈시점과 임의시점 확률 사이의 관계를 유도한 후, 이를 이용하여 임의시점의 고객수 확률 분포를 구했다. 그리고, 임의시점 확률분포로부터 각종 성능척도를 구하는 방식을 취했다. 이러한 분석 방법은 기존의 분석 방법에 비해 간략하며 다양한 모형에 대해 일관된 적용이 가능하다.
