A generalized optimization problem in which the design space is also a design variable to be determined is defined and a numerical implementation method is proposed. In conventional optimization, only some of the structural parameters are designated as design variables while the remaining parameters related to the design space are often taken for granted. The number of design variables along with the layout or configuration specifies a design space. To solve this type of design space problem, a simple initial design space is selected and gradually improved while the usual design variables are being optimized. To make the design space evolve into a better one, the designer may increase the number of design variables, but in this transition, there are discontinuities in the objective and constraint functions. Accordingly, the sensitivity analysis methods based on continuity cannot be used in this discontinuous stage. To overcome this difficulty, a numerical continuation scheme is proposed. It is based on a new concept of a pivot phase design space. This is applicable only for the cases when new design variables are added.
To find the set of new design cells to be added, first a set of potential cells to be possibly added are specified, for example, by including all the adjacent cells to the existing active cells. The directional derivatives based on the introduction of pivot phase space are calculated and then a portion of the set are selected using the ranking of the sensitivities. The selection ratio is chose by the user. It is noted that only one analysis is necessary for the sensitivity information, and this makes this process very efficient.
In order to reduce computational cost and improve efficiency, however, it is necessary to include a process of removing design variables when the values remain constant over iterations, because in this case the design variables are not used for optimization. In the topology optimization of density approach, a cell whose density is zero is not used efficiently for optimization, and also there is little probability of regaining its density. A numerical routine of changing the design space by reducing the number of design variables is implemented. The new optimization formulation and its numerical scheme enable one to change the design space automatically either by increasing or by decreasing the number of design variables depending on the characteristics of a given problem.
Two new categones of structural optimization problems, topology optimization and plate thickness optimization, are formulated. For the topology optimization, a short cantilever and a bridge are optimized for various cases: according to the loading condition, initial domain size, mesh size and selection ratio for new design variable addition. The results show that a high selection ratio is required to obtain a good optimum design under bending loads, and a domain of too small an initial size brings in checkerboards and eventually fails to converge to an optimum.
It is seen that the new proposed process of adding new design variables works very well and efficient. In the examples with compliance as the objective function, different solutions are obtained for the same design space depending on whether a fixed initial design space is used or an evolutionary approach by addition is used. Also there is a bigger chance of falling into a local minimum when the resolution in relation to the cell size is higher. In most of the cases tested, the evolutionary approach has generated a better optimum than the fixed domain cases.
With the addition of a routine for reducing the design variables, the total number of design variables is found to decrease gradually because, in many cases, the reduced design variables outnumber those added. This integrated routine of design variable addition and reduction reduces computational cost.
The second category of applications is plate thickness design, where the layout of design patches is adaptively optimized and the optimum thickness distribution elaborated. The optimum layout problem of design patches is taken to minimize the compliance objective function of plate problems. The advantages of the proposed approach are that (1) the effect of a patch refinement on the objective and constraint functions is calculated quantitatively by the proposed sensitivity analysis, and (2) the refinement is performed adaptively on the basis of the obtained sensitivities. Again only one analysis is necessary to obtain the sensitivity information of the refined cells.
In conclusion, a mathematically sound approach of obtaining the sensitivity of added design variables is proposed by introducing a pivot phase design space. It is a directional derivative and can be calculated efficiently by the adjoint variable method. With the new capability of increasing design cells and the existing method of removing design cells, it is new possible to obtain the design truly in an evolutionary manner. As shown numerically, there are many local solutions involved. The convergence property and obtaining global solutions are different and yet need future studies.
지금까지의 최적설계에서는 시스템의 성능에 영향을 미치는 여러 파라미터 중 일부분만 설계변수로서 사용하고 나머지 파라미터는 설계자가 미리 지정한 값을 그대로 사용해왔다. 그러나 이와 같은 경우에는 설계가 제한적일 수 밖에 없으므로, 본 연구에서는 설계공간 자체도 설계변수로 포함시키는 최적설계에서의 일반화된 수식화와 이 문제를 풀기 위한 새로운 수치해석 방법을 제안한다. 설계공간은 설계변수의 개수와 설계변수사이의 상대적인 관계, 즉 위상으로 정의된다. 이 일반화된 최적설계는, 기존의 설계변수 값 최적화는 그대로 수행하면서 간단한 초기 설계공간으로부터 점점 설계공간이 진화하는 방식으로 수행된다. 설계공간을 더 좋은 해를 주는 설계공간으로 진화 시키기 위해서 설계변수의 개수를 점점 늘려 나간다. 그러나 설계변수의 개수는 연속적인 값이 아니라 자연수이기 때문에, 설계변수개수의 변화에 따른 목적함수나 제한조건 범함수의 변화를 기존의 민감도 해석으로 계산할 수 없다. 이 어려움을 해결하기 위하여 서로 다른 차원의 설계공간 사이에 가상단계(pivot phase)를 설정하여 새로운 설계변수 추가의 영향을 계산하는 수치 연속화 방법을 제안한다.
최적화 과정 중에 값이 계속 변하지 않는 설계변수는 최적화를 위해서 사용되지 않고 있기 때문에, 이와 같은 설계 변수를 설계의 대상에서 제외한다면 컴퓨터의 계산부담을 줄이고 효율적인 계산을 할 수 있다. 밀도 민감도 기법을 이용한 위상최적설계에서는 한 번 밀도가 0으로 된 셀은 다시 밀도가 커질 가능성이 매우 작기 때문에, 이와 같은 셀을 설계변수 집합에서 제외하는 루틴을 추가하였다. 즉, 주어진 구조 최적화 문제의 특성에 따라서 초기의 설계변수 집합에 새로운 설계변수를 추가하기도 하고, 필요 없는 설계변수를 제거하기도 하는 프로그램을 구축하였다.
구조해석최적화에서의 대표적인 두 가지 문제 유형인 위상 최적화와 평판의 두께 최적화에 대해서 설계공간 최적화를 수식화 하였다. 위상최적화의 예제로는 외팔보와 현수교 문제를 최적화 하였으며, 가장 전형적인 문제인 외팔보 문제는 하중조건, 초기 설계영역 크기, 새로운 설계변수 생성을 위한 설계변수 선택율 등 여러 가지 파라미터가 변하는 경우에 대하여 최적화를 수행하였다. 굽힘하중을 받는 외팔보 문제의 경우에는 높은 값의 설계변수 선택율을 사용하는 경우 더 좋은 최적해를 얻을 수 있었으며, 매우 얇은 초기 설계영역은 바둑판 무늬를 생성시켜 좋은 최적해를 얻을 수 없었다. 설계변수 제거 루틴을 추가한 경우, 전체 설계변수 개수는 많은 경우에 축차가 진행됨에 따라 점점 줄어들었다.
