Numerical schemes and comparison of predictions of radiative heat transfer for the first and the second order discrete ordinates interpolation methods (DOIM1 and DOIM2) are presented. The formulations are followed by derivation of numerical schemes for two-dimensional structured body-fitted grids. With varying optical depths and numbers of grids and ordinates, radiative wall heat fluxes by DOIM1 and DOIM2 are calculated to compare with the exact solutions for three kinds of two-dimensional enclosures (square, quadrilateral and J-shaped) containing absorbing, emitting and nonscattering media of known temperature with cold black walls. Emissive power and radiative wall heat fluxes by DOIM1 and DOIM2 are calculated to compare with zonal results for two-dimensional square enclosure containing absorbing, emitting and isotropically scattering medium of known uniform heat source with cold black walls. The results of DOIM1 and DOIM2 are in good agreement with the exact solutions or the zonal results. DOIM1 gives more accurate results than DOIM2 for most of the tested optical depths and numbers of grids and ordinates. Their grid and ordinate dependencies are also discussed in depth. Another radiative heat transfer problem for absorbing/emitting and nonscattering medium contained between infinite concentric cylinders is solved by DOIM1. The emissive power and wall heat fluxes by DOIM1 are compared with the results by DOM-OCC (Discrete Ordinates Method in a Orthogonal Curvilinear Coordinate) and Monte Carlo method.
Next, the numerical convergence characteristics of the pointwise and the control volume energy balance equations of thermal radiation problems in absorbing, emitting and nonscattering media are examined with DOM and DOIM1. Iteration processes for the solution of temperature are scrutinized and a sufficient condition for convergence is presented. An explicit method using only the diagonal terms in the coefficient matrix A‘ of the radiative energy balance equation to update nodal $ I_b$ from the nodal energy imbalance R through $I^{new}_b = I^{old}_b + (A’)^{-1} R$ and a semi-implicit one using the tridiagonal entries are devised to solve a problem with prescribed heat source. They are tested with DOM, DOIM1 and the zonal method, and comparison of the number of iterations for convergence in addition to the solution accuracy is made. The semi-implicit method significantly reduces the number of iterations and it is prominent for optically thick cases. However, it reduces the number of iterations marginally as the number of control volumes increases. More implicit scheme further reduces the number of iterations. Also, taking finer (and thus more) control volumes increases the number of explicit iterations asymptotically to reach an upper bound as a function of the total optical thickness and the convergence criterion.
Approximate expression of the direct exchange area hinted by the zonal method is devised to accelerate convergence. This expression is applied to the fully implicit method, and the number of iterations becomes smaller than the case when the conventional explicit update of medium temperature is used. This reduction of the number of iterations is also prominent when the optical depth is large.
In brief, DOIM1 is more accurate and easier to apply than DOIM2 and it appears as a powerful candidate for very versatile radiation analysis tool. The convergence for temperature-unknown problems can be accelerated by proper choice of the acceleration scheme.
본 연구에서는 일차 및 이차 구분종좌보간법(first and second order discrete ordinates interpolation method)을 이용한 복사열전달 해석 결과의 비교 및 수치해석기법을 제시하였다. 크게 두 부분으로 나누어, 앞부분에서는 일·이차 구분종좌보간법과 그 적용방법 및 결과에 대하여 다루었으며, 뒷부분에서는 복사에너지밸런스가 같이 고려될 때의 수치적 방법의 수렴 특성에 대하여 고찰하고, 그 수렴 속도를 증가시키기 위한 방법을 개발하여 적용하였다.
크게 나누어 앞부분에서는, 일·이차 구분종좌보간법의 수식화 과정을 보였으며, 구조화 형상 적합 그릿(structured body-fitted grid)을 이용한 수치해석기법(numerical scheme)을 제시하였다. 제시된 방법의 적용을 위해 먼저 흡수(absorbing), 방사(emitting)를 하며 산란을 하지 않고 일정한 온도로 유지되는 매질을 고려하였다. 매질을 담고 있는 2차원 용기는 세가지(정사각형, 불규칙사각형, J자형)를 다루었으며, 각 경우에 대하여 광학두께와 그릿 및 종좌표의 수를 변화시켜가면서 벽면 열유속(heat flux)을 구하여 엄밀해(exact solution)와 비교하였다. 두 번째로, 흡수, 방사를 하며 등방 산란(isotropic scattering)을 하고 일정한 크기의 열원을 가진 매질을 지니고 있는 2차원 정사각 용기를 고려하여, 일·이차 구분종좌보간법에 의해 구해진 매질의 방사도(emissive power)와 벽면 열유속(heat flux)을 존 방법(zonal method)의 결과와 비교하였다. 두 문제 모두, 일·이차 구분종좌보간법의 결과가 엄밀해 혹은 존 방법의 결과와 잘 일치하였으며, 대부분의 경우에 대하여 일차 구분종좌보간법이 이차 구분종좌보간법에 비해 나은 결과를 보여주었다. 또한, 이 방법들의 그릿 및 종좌표에 대한 종속성(grid and ordinate dependencies)에 대한 토의를 심도 있게 하였다. 마지막으로, 일차 구분종좌보간법을 이용하여 무한히 긴 동심원통사이에 갇혀있는 매질을 고려하였다. 매질은 흡수, 방사를 하고 산란을 하지 않으며, 복사 평형(radiative equilibrium)상태에 있는 경우를 생각하였으며, 그 해석 결과를 직교 곡선 좌표계 내에서의 구분종좌표법(Discrete Ordinates Method in a Orthogonal Curvilinear Coordinate) 및 몬테카를로법(Monte Carlo method)의 결과와 비교하였다.
크게 나누어 두 번째 부분에서는, 흡수, 방사를 하고 산란을 하지 않는 매질에 대한 열복사 문제에서의 에너지 보존식의 수치 수렴 특성에 관한 연구를, 기존의 구분종좌표법 및 일차 구분종좌보간법을 이용하여 수행하였다. 매질의 온도를 구하기 위한 반복 계산 과정(iteration process)에 대하여 자세히 알아보았으며, 그 방법이 수렴하기 위한 충분 조건을 제시하였다. 주어진 열원이 존재하는 문제를 고려함에 있어서, 행렬의 대각성분만을 이용하는 양함수적 방법(explicit method), 행렬의 삼대각성분(tridiagonal entries)을 이용하는 반음함수적 방법(semi-implicit method) 그리고 존 방법에서 힌트를 얻어 행렬의 모든 성분을 구하여 이용하는 완전 음함수적 방법(fully implicit method)을 제시하였다. 각 방법들은 일차원 및 이차원 매질에 대하여 적용하였으며, 그 결과, 반음함수적 방법을 사용하면 양함수적 방법을 사용할 때에 비하여 수렴횟수가 많이 줄어드는 것을 알아냈으며, 이러한 경향은 매질의 광학두께가 클 경우에 더욱 크게 나타나는 것을 확인하였다. 또한 완전음함수법을 이용하면 더욱 더 효과적으로 수렴 횟수를 줄일 수 있는 것을 알 수 있다.
간단히 말하면, 앞으로 여타 다른 복사열전달 문제 해석에 있어서도 구분종좌보간법은 매우 훌륭한 해석 도구가 될 것으로 판단되며, 온도장을 구하는 문제에 있어서 그 수치적 수렴속도는 적당한 가속기법에 의하여 빨라질 수 있다.
