An n-lace ℓ (in $R^2$) is the union $ℓ_1∪…∪ℓ_n$ of disjoint simple arcs in $R^2$ such that $∂ℓ_i = {(i,1),(π(i),-1)}$, i = 1, …, n, for some permutation π of {1,2,…,n}. We denote by $L_n$ the set of isotopy classes of n-laces.
In this thesis, we investigate planar laces using geometric and algebraic methods. First, using geometric and combinatorial methods we show that there is an one to one correspondence between 1-laces on 1-punctured plane and a set of integer pairs. And we find a relationship between integer pair and cobordism class of 1-laces on 1-punctured plane. We have similar results for 2-laces on $S^2$.
For the algebraic method, we use the mapping class group of plane.
We obtain the presentation of a subgroup $LM_{2n}$ which acts on planar laces transitively as a subgroup of mapping class group. And we have the presentation of isotropy subgroup $T_n$ of trivial laces.
The map β: $L_n→B_n$ is defined geometrically. The preimages of trivial braid are called pseudo trivial laces. We define an algebraic map b: LM_{2n}→B_n$ which factors through $L_n$. Then using the map b, we find the subgroup $PL_{2n}$ which acts on pseudo trivial laces transitively.
We have devised an algorithm of cap reducing process to detect pseudo trivial laces. Cap reducing process is a sequence of finger moves which do not change braid type. We can deform a lace to a lower lace by cap reducing process. We show that a given lace is pseudo trivial if and only if the lower lace obtained by cap reducing process is trivial.
Finally, we have a relationship between lace links and pseudo trivial laces. Any n-bridge n-components link can be obtained from pure n-laces. We show that any n-bridge n-components link can be obtained from pseudo trivial n-laces.
평면 n-레이스 ℓ는 평면위에 놓여진 n개의 만나지 않는 단순 곡선들 $ℓ_1,…,ℓ_n$들의 집합으로서 그 끝점들 $∂ℓ_i$은 ${(i,1),(π(i),-1)}, i = 1,…,n$들이다. 여기서 π는 n 순열군의 원소이다.
본 논문에서는 기하적인 방법과 대수적인 방법을 이용한 평면 레이스의 표현법에 대하여 연구하였다. 먼저 단공 평면에서의 1-레이스와 2차원 구면상에서의 2-레이스에 대해서는 기하적이고 조합적인 방법을 이용하여 이들이 정수 순서쌍들의 집합과 일대일 대응이 있다는 사실을 밝혀냈다. 그리고 단공 평면에서의 1-레이스들의 코보디즘류와 순서쌍 집합과 사이의 관계를 규명하였다.
대수적인 접근 방법으로서 평면 레이스를 평면의 사상류군을 이용하여 나타내는 방법을 연구하였다. 그 결과 평면 레이스의 동치류에 작용하는 사상류군의 부분군 $LM_{2n}$의 생성자와 관계자를 구하였다. 그리고 $LM_{2n}$의 부분군으로 자명한 레이스에 작용하는 군 $T_n$의 생성자와 관계자도 구하였다.
$β: L_n→B_n$은 평면 n-레이스의 동치류를 n 땋임군의 원소와 대응 시키는 기하적으로 정의된 사상이다. 이 사상에 대한 자명한 n 땋임의 역상을 의사 자명 레이스라고 한다. 앞서 구해진 사상류군의 부분군 $LM_{2n}$에서 $B_n$으로 가는 사상 b를 정의하여 기하적으로 정의된 β를 대수적으로 표현 하였다. 더불어 이 사상 b를 이용하여 의사 자명 레이스의 동치류에 작용하는 부분군 $PL_{2n}$을 구하였다.
기하적으로 의사 자명 레이스를 판명할 수 있는 방법인 캡 소거법을 발명하였다. 주어진 n-레이스의 땋임형을 바꾸지 않는 손가락 작용을 정의하고 손가락 작용에 의해서 레이스를 아랫부분 레이스로 만드는 방법이 캡 소거법이다. 캡 소거법에 의해서 만들어진 아랫부분 레이스가 자명한 레이스라는 것과 주어진 레이스가 의사 자명 레이스라는 것이 동치 관계라는 것을 증명 하였다.
n-레이스에 n개의 반원을 덧 붙여서 고리를 만들 수 있다. 이러한 고리를 레이스 고리하고 한다. 모든 고리는 레이스 고리로 표현되며 특히 n 교각 n 성분 고리는 순수 n-레이스 고리로 표현된다. 그런데 n 교각 n 성분 고리는 의사 자명 레이스로 부터 얻어진다는 사실을 밝혀 냈다.
