The finite element method based on the total Lagrangian description of the motion and the Heillinger-Reissner principle with independent strain is applied to investigate the nonlinear static and dynamic response including vibration characteristics for laminated composite shells. The nonlinear static problems are solved using arc-length method to trace the load-equilibrium path of snapping behaviors for thin shells. The nonlinear dynamic response is obtained by employing the implicit time integration method. Even with a small number of elements, the present finite element gives not only reliable solutions, but also good convergence independently of configurations and boundary conditions.
In this study, three cases of numerical studies are carried out: (1) the vibration characteristics of twisted cantilevered conical shell, (2) the thermal post-buckling response of reinforced patched shell and (3) the dynamic instability (or buckling) of spherical shell. For a twisted cantilevered conical shell, the twisting angle affects greatly the twisting mode rather than the first bending mode. For a patched laminated cylindrical shell under thermal load, the patch on the panel can alleviate the snapping phenomena and give an improved performance of load-carrying capability, when the patch has the same order of the panel thickness. In addition, the lamination and location of the patch affect significantly the nonlinear thermal response.
The dynamic (or transient) analysis with damping included can represent the true dynamic nature of the response of a structure for all equilibrium point and follows the evolution of the response as a function of time as seen in a large deformation (or collapse) of the spherical shell. For thin shells subjected to suddenly dynamic load, the critical load is lower than the expected static one. That is, the snapping can occur at the load below the static critical load. Also, the damping can give two possible load-equilibrium solutions with pre-buckling and post-buckling response. The dynamic response with a light damping coincides with the post-buckling response whereas moderately heavy damping causes to converge to the pre-buckling response. Also, the damping affects greatly the dynamic response in highly nonlinear region. Finally, the results of this study provide the significance and the need of the nonlinear dynamic analysis for thin shells.
본 연구는 Hellinger-Reissner 원리에 기초하여 추정 변형율과 변위장에 의거한 유한요소법을 이용하여 비선형 정적 거동 및 동적 거동을 고찰하였다. 토탈 라그랑지안 방법을 적용한 3차원 축약된 쉘 요소를 사용한 관계로 기하학적인 형상에 관계없이 복잡한 형태의 구조물에도 쉽게 이용이 가능하다. 따라서 본 연구는 광범위한 쉘 구조물의 진동 해석과 정적/동적 거동 특성을 파악하고자 하였다.
박판 쉘 구조물의 연구는 수많이 이루어졌고, 현재도 진행 중에 있다. 박판 구조물의 경우, 임계하중보다 낮은 하중에서도 대변형이나 국부적인 좌굴(buckling)이 발생한다. 특히 임계하중에서 급격히 변위가 증가하는 스냅핑(snapping) 현상이 발생한다. 또한 박판 구조물은 고유진동수가 낮고, 그 진동 폭이 크며, 하중을 받는 상태에서는 훨씬 더 심각한 문제가 야기될 수 있기 때문에 비선형 동적 특성은 설계에서 매우 중요하게 여기고 있다. 따라서 박판 구조물을 실제적으로 설계에 적용하기 위해서는 비선형 정적 거동 및 동적 특성에 대한 연구가 필요하다.
본 연구의 주된 목적은 비선형 동적 거동 및 불안정성을 고찰하기 위한 것으로, 비선형 거동을 파악하기 위한 선행 연구 즉 진동해석과 비선형 정적 거동 연구를 먼저 수행하였고, 최종적으로 동적 거동을 논하였다. 진동해석은 동적 거동 특성의 정확성을 입증하기 위한 것이며, 비선형 정적 거동은 비선형 효과에 의한 후좌굴(post-buckling) 거동을 살펴보는 것이며, 최종적으로 동적 거동 해석은 정적 거동과의 비교와 스냅핑 현상을 명백하게 밝히기 위한 것이다.
본 연구를 수행한 유한요소법의 신뢰성을 입증하기 위하여 제 4장에서 진동해석, 비선형 정적 거동을 평판, 원통형/원추형/구형 쉘을 대상으로 하여 기존의 연구 결과와 비교를 하였다. 제 5장에서는 응용연구로 터빈 브레이드와 같은 형태의 비틀림 각이 있는 원추형 쉘의 진동해석을 수행하였다. 제 6장에서는 패치로 보강된 원통형 쉘이 열 하중을 받는 경우에 대하여 열적 후좌굴 거동을 고찰하였다. 패치는 균열이 있는 구조물을 수리하는데 널리 사용되고 있으며, 또한 하중지지도를 증가시키는 보강 구조물로도 사용되고 있다. 스티프너와 같은 보강재로 보강하는 방법이 매우 효과적이나, 복합재료의 경우 접합면에서 취약성이 있기 때문에 스킨-스트링거 구조물은 면밀한 공정과 주의가 요망되고 있다. 이에 반해 패치 보강 구조물은 접합면의 취약성을 극복할 수 있고, 경제적인 측면에서 큰 잇점이 있다. 따라서 패치 보강 구조물의 연구가 충분히 이루어진다면 설계요구조건의 제한하중을 증가 시킬 수 있다. 열하중에 의한 거동은 기계적인 하중과는 달리 매우 복잡한 형태로 나타나며, 거동 예측이 쉽기가 않다. 제 6장에서는 열하중에 의해 스냅-백이 발생하는 원통형 구조물을 대상으로 패치를 보강했을 때 보강 패치의 적층과 위치에 따른 열적 후좌굴 거동을 살펴보았다. 패치의 적층과 위치에 따라서 스냅-백(snap-back) 현상이 완화되거나 완전히 없어지기도 하였다. 패치의 두께가 쉘의 두께 정도만 되면 하중지지도는 크게 개선됨을 알 수 있었다.
마지막으로 제 7장에서는 비선형 동적 거동 특성을 고찰하였다. 구형 쉘이 외압을 받을 때, 비선형 거동의 3가지 경우 (스냅핑이 없는 경우, 스냅-쓰루, 그리고 스냅-백을 갖는 경우)의 동적 거동을 정적 거동과 비교하였고, 동적 임계 하중을 결정하였다. 동적 거동은 질량, 감쇠 그리고 강성에 의해 결정되기 때문에 감쇠 행렬의 모델링이 요구된다. 감쇠 행렬은 구하기 매우 어렵기 때문에 본 연구에서는 Rayliegh 감쇠로 가정하여 모델링을 하였다. 스냅핑이 발생하지 않은 구조물에서는 임계 하중은 정적 해석만으로도 가능하지만, 스냅-쓰루 (snap-through)가 발생되는 구조물의 임계 하중은 동적 해석에 의해서 결정되어야 한다. 정적 해석에 의한 임계 하중보다 휠씬 낮은 하중에서도 변위가 급격히 증가하는 스냅핑이 발생되었다. 감쇠량을 포함한 해석에서 전좌굴 모드와 후좌굴 모드의 경향이 분명히 나타났다. 감쇠량이 매우 낮은 경우, 정적 해석에서 예측한 하중보다도 낮은 하중에서 후좌굴 모드로 급격히 진행되었고, 감쇠량이 적당히 부가하면, 전좌굴 모드의 경향을 보여주었다. 스냅-쓰루와 같은 불안정한 하중선도를 갖는 구조물은 두개의 극점을 갖는데, 이 사이의 해당되는 급격한 동적 하중에서는 감쇠량에 의하여 2개의 평형점이 존재한다는 현상을 동적 해석을 통하여 알 수 있었다. 감쇠량은 동적 임계 하중을 조금은 증가시킬 수 있지만, 정적 해석에서 예측한 하중까지 증가시킬 수는 없다. 스냅-백이 있는 구조물은 매우 심각한 양상을 보이고 있으며, 동적 임계 하중은 아래의 극점 근방에서 발생한다. 따라서 정적 해석 관점과는 달리 동적인 관점에서 살펴보면, 임계 하중을 결정하는 주요 인자로 아래의 극점까지도 고려하는 것이 필요하다. 설계에서는 가능하면 스냅핑이 발생하지 않도록 하는 것이 바람직하다. 이런 대안중의 하나로 본 연구에서는 패치에 의한 보강 구조물을 소개하였다.
이상의 결과를 볼 때 박판 구조물의 설계에는 비선형 정적 해석과 어울러 동적인 해석을 필히 수행하여야 한다. 만약 동적 해석을 간과하면, 그 구조물은 설계요구조건에 부합하는 충분한 강성과 강도를 지녔다고 볼 수 없다.
