In the last decade, several meshfree methods have been developed. Those methods do not require mesh information in the formulation. Thus nodes can be easily added and removed. That is a prominent feature in h-adaptivity analysis. P-adaptive analysis can be easily achieved by using hp-clouds approximation. In hp-clouds method, higher order shape functions are obtained by the multiplication of PU meshfree shape function and monomial basis function. In general, the meshfree shape functions are highly continuous rational function. Thus the solution of meshfree method and its derivatives are also continuous, but the integration in the formulation cannot be exactly calculated by the complexity of the shape function. Another remarkable feature of meshfree shape functions is that they do not satisfy Kronecker delta condition. It makes the imposition of essential boundary condition cumbersome.
In this study, effective p-adaptive scheme is investigated and the method to impose essential boundary condition and error detection scheme are presented.
In the p-adaptive analysis of hp-clouds method, the generation of shape function corresponding to newly appended dof’s does not change the values of existing shape functions. The presented resolved hp-clouds method constructs equations for newly appended dof’s. And the equations of newly appended dof’s are solved to improve the solution. Consequently the existing dof’s do not contribute to the improvement of the solution in adaptive analysis. Thus the resolved adaptive scheme does not guarantee the convergence of solution but the solution can be improved at the cost of very small amount of additional computational efforts.
A method to impose essential boundary condition has been presented. The method uses singular weight function constructed by introducing the auxiliary weight functions those have singular property. The resulting shape functions have the Kronecker delta property at the nodes on which essential boundary conditions are specified and also have linear interpolation property along the boundary line segment..
Error estimator in hp-clouds also has been presented in the form of the difference of computed stress and projected stress. The basic idea is detecting the spurious oscillation of the solution. The error estimator is practically useful since the spurious oscillation is increased in the region with large errors. In hp-clouds method, the number of dof’s is not equal to that of nodes, thus weak form is introduced in the projection of the stress.
In examples those methods have been examined and the availability of is discussed.
지난 10년간 새로운 수치해법으로 무요소법이 개발되어왔다. 무요소법은 경계치문제의 해법으로 널리 사용되고 있는 유한요소법과는 달리 요소를 사용하지 않는다는 점에서 크게 주목을 받았다. 무요소법의 대표적인 특징으로 요소를 사용하지 않는다는 것과 필요한 만큼의 연속성을 가진 형상함수를 용이하게 구성할 수 있다는 것이 있다. 요소를 사용하지 않는다는 점은 직접적으로 h-적응해석을 편리하게 하여 적응기법을 사용하는 해석기법으로서 장점을 가지게 되었고 무요소법의 하나인 hp-clouds법은 절점에 고차의 자유도를 간단히 추가하도록 하여 p-적응해석을 쉽게 구현하게 되었다. 또한 형상함수의 연속성은 근사함수의 미분까지 연속성을 보장하게 되어 해의 개선을 가져오게 되었다.
그러나 무요소법은 형상함수를 구하는데 많은 시간이 소요되고 형상함수가 연속적이나 복잡한 형태를 가지게 되어 수치적분에서 정확하게 이루어지지 않으며 절점에서 크로네커델타 조건을 만족하지 않아 필수경계조건의 적용을 위한 별도의 방법들이 필요한 문제점들을 안게 되었다.
본 연구에서는 hp-clouds법을 이용한 p-적응해석으로 절점의 추가로 나타나는 수치적분의 오차를 줄이고 적은 계산량으로 해를 개선하는 적응적분할해석기법을 제안하였다. 또한 가중함수를 수정하여 필수경계조건을 용이하고 정확하게 처리하는 필수경계조건처리법과 hp-clouds법의 적응해석을 위한 오차추정법을 제안하였다.
적응적분할해석 방법은 hp-clouds법의 p-적응해석에 대한 형상함수의 특성을 이용한 것으로 p-적응해석의 과정에 추가되는 기저함수에 대한 식을 따로 구성하여 추가된 미지수만으로 방정식을 구성하여 적응해석을 수행하는 방법이다. 즉 p-적응해석은 전체적인 해를 개선하는 것이 아니라 오차해석을 통하여 구한 오차가 집중되는 영역에 대하여 기저함수를 추가하고 추가된 기저함수만으로 해를 개선하는 방법이다. 따라서 해의 수렴성을 보장하지는 않지만 분할해석을 통한 계산량의 절감을 고려할 때 상당히 효과적인 적응해석 기법이다.
가중함수를 수정하여 필수경계조건을 처리하는 방법은 일종의 특이함수를 이용한 방법으로 보조가중함수를 도입하여 절점만이 아니라 경계상의 선분에서도 필수경계조건을 만족시킬 수 있었다.
Hp-clouds 방법에서의 오차추정은 오차가 많은 영역에 존재하는 해의 진동현상을 검출하는 방법이다. 해의 진동현상은 절점의 응력값을 형상함수를 사용하여 사상함으로써 보다 부드러운 형태의 응력장을 구하고 해석으로 구한 응력장의 차이 계산함으로써 검출한다. Hp-clouds법에서는 EFG법과 달리 절점에서의 미지수가 절점의 개수와 다르므로 사상의 과정에 약화식이 도입되었다.
본 연구에서 제안된 적응적분할해석기법과 필수경계조건처리법 그리고 hp-clouds법을 위한 오차추정법은 예제를 통하여 효율성과 적용성을 보였다.
