Many people have tried to simulate the behavior of neutrons in a medium which may not be solved analytically, and many code systems have been constructed to obtain more accurate and faster solutions for nuclear reactor analysis and radiation shielding design. Currently, the accuracy instead of fastness of numerical solutions has been emphasized due to the advanced computational technologies including softwares as well as hardwares. In this thesis, higher-order difference methods (analytic collocation method and linear multiple balance method) are suggested which expand the existing finite difference method to provide efficient solutions of neutron diffusion and transport equations.
Neutron transport equation, which describes the behavior of neutrons for reactor core and blanket design and for personnel and equipment shielding applications, is complicated due to the angular dependency of the neutrons. One of the approximations for angular dependency is the neutron diffusion equation which has been applied to realistic core calculations. Usually, reference calculations are performed by a fine mesh diamond difference (DD) scheme and a finite difference method (FDM) for neutron transport and diffusion equations, respectively.
To improve existing finite difference method (FDM), an analytic collocation method (ACM) is suggested as a solver for neutron diffusion equation in this thesis. Especially, the ACM uses an analytic relation for pseudo and real unknowns at the boundaries or interfaces, which results in better solutions of neutron diffusion equation. As an higher-order method, the matrix system of ACM becomes denser than that of FDM. So parallel implementation as well as preconditioned bi-conjugate gradient stabilized method (PBi-CGSTAB) is considered for its efficient solution.
ACM is also applied to the simplified even parity neutron transport equation which has an elliptic differential form like the neutron diffusion equation. It is easy to implement ACM since the formulation of the simplified even parity equation is similar to that of neutron diffusion equation.
When solving the Boltzmann neutron transport equation, the discrete ordinates equation is usually considered. To get more accurate solution, a linear multiple balance (LMB) scheme is developed in this work extending existent multiple balance schemes. Like existent multiple balance schemes, one mesh cell is divided into two subcells, but unlike other schemes, four multiple balance equations are set up to overlap subcells. The error analysis shows that the accuracy of LMB is $O(Δ^4)$ compared with $O(Δ^2)$ of DD. The LMB scheme provides more positive (albeit, not strictly positive) solutions and has optically thick diffusion limit. To accelerate the source iteration of LMB, an additive angular dependent rebalance (AADR) method is also devised. This is a linearized form of the angular dependent rebalance (ADR) method and the optimal weighting functions are determined from Fourier analysis. The spectral radius of AADR can be less than that of the diffusion synthetic acceleration (DSA) when proper weighting functions are used. The low-order equation in AADR is solved by a preconditioned Bi-CGSTAB algorithm, which reduces computational burden significantly. The preconditioner is obtained by a “transport sweep” incomplete factorization. We also extended LMB-AADR to rectangular geometry problems.
The matrix system of LMB is made from eight multiple balances over four subcells in a rectangular mesh cell. To get better convergence of neutron transport equation in rectangular geometry, the AADR with a directional weighting is also suggested.
해석적으로 풀기 어려운 매질내의 중성자의 분포를 구하기 위한 많은 시도가 있어왔다. 그리하여 원자력 노심해석과 방사선 차폐 설계를 위한 보다 정확하고 신속한 코드 시스템들이 구축되었다. 현재에는 수치적인 해의 신속성보다는 정확성이 강조되고 있는데 이는 최근 향상된 소프트웨어와 하드웨어에 기초한 전산 시스템에 기인한다. 본 연구에서는 고차차분방법을 제시하여 중성자 확산 및 수송방정식을 효과적으로 풀고자 한다.
중성자 수송방정식은, 원자로 노심과 차폐 설계와 인체와 기기의 방호에도 응용이 되고 있으며, 중성자의 방향 의존성 때문에 상당히 다루기 어렵다. 이러한 방향의존성을 간단히 근사한 중성자 확산방정식은 실제 원자로 노심계산이 이용되고 있다. 대개, 참조계산을 위해 소격격자 다이아몬드방법과 유한차분법이 각각 중성자 수송방정식과 확산방정식에 이용되고 있다.
기존의 유한차분법(FDM)을 향상시키기 위해 제시된 고차차분법(HDM)중의 하나인 해석적 콜로케이션 방법(ACM)은 경계면과 내부의 인접면에서 실제 미지수와 가상 미지수간의
해석적 관계를 사용하여 계산을 수행한다. 이러한 처리로 경계나 인접면에서의 오차를 상당히 줄일 수 있게 된다. 다른 고차방법들과 마찬가지로, 고차차분법의 행렬은 반복계산을 필요로 한다. 따라서 병렬계산 기법을 도입했을 뿐만 아니라 PBi-CGSTAB 방법을 이용한 효과적인 알고리듬을 제시하였다. 중성자 수송방정식을 단순화시킨 단순우성방정식에 ACM 방법을 적용하여 중성자 확산방정식과 유사하게 적용하였다.
한편, 각분할 중성자 수송방정식을 풀기위해서 선형다중평형(LMB) 방법을 제시하여 해의 정확성을 얻었다. 선형다중평형방법(LMB)에서는 하나의 계산 셀을 두 개의 서버셀로 나누어 4개의 중성자 평형방정식을 세워 풀게 된다. 이중 두개의 평형방정식은 서버셀 사이를 중첩하게 된다. 이렇게 구해진 LMB 방법의 해는 기존 다이아몬드(DD)방법보다 해의 정확성이 4차로 2차인 DD방법보다 우수함을 오차해석 및 검증계산으로 확인하였다. 그리고 해의 양수성도 정확하게 양수는 아니지만 DD 방법보다는 훨씬 양수성이 강해지게 된다. 또한 다른 고차 방법과는 달리 확산성이 강한 경우에도 해의 정확성에 문제가 되지 않다는 것을 해석적 증명을 통해 확인된다. 중성자속의 해를 보다 신속하게 구하기 위해 해의 가속방법이 필요한데, 기존 확산합성기법(DSA)은 LMB 방법에 적용하기가 힘들다. 그리하여 방향의존재균형 가속기법을 이용하게 된다. 본 논문에서는 선형화된 방향의존재균형 가속기법(AADR)을 제시하여 최적의 수렴성을 제공하는 가중함수를 구하여 사용한다. 최적화된 가중함수는 퓨리에 해석을 통해 해석적으로 구해지게 되며 이때 수렴반경이 기존 확산합성기법(DSA)보다 작아지게 된다. 그리고 확산합성기법(DSA)과는 달리 저차방정식과 고차방정식사이의 일치성을 요구하지 않으며, 또한 저차방정식을 계산할 때 preconditioned Bi-CGSTAB 알고리듬을 이용하여 가속의 효과를 높였다. 선처리 연사자(Preconditioner)로는 traspor sweep 연산의 형태를 가지는 incomplete factorization을 이용하였다. 또한 이차원 문제로의 확장도 쉽게 가능하다. 기존 방법과 마찬가지로 LMB에서는 8개의 중성자 평형식을 이용하여 행렬식의 형태로 방향 중성자속을 해석적으로 찾게된다. 그리고 방향의존재균형 가속기법에서 방향에 따라 가중함수를 달리 취하는 방법을 사용하여 해의 수렴속도를 현저히 향상시켰다.
