As a model of complex system, reaction diffusion system is studied. In particular, we investigate the effect of external forcing and resonant pattern dynamics. For local reaction, oscillatory and chaotic bistable cases are considered. In addition, patterns in the vertically oscillated granular systems are studied as one of the examples of the forced system where competition between intrinsic local dynamics and coupling is important.
For the oscillatory media, a variant of complex Ginzburg-Landau equation is used to describe resonant patterns and frequency locking phenomena. The model exhibits a variety of frequency locked patterns including flats, π fronts, labyrinthine patterns and 2π/3 fronts. We also observe the novel patterns such as bursting domains and target patterns during the transition to locking. The Arnol'd tongue structure, characteristics of the resonant patterns and transitions between them are studied. We show that diffusive couplings, which causes frequency change, can induce or suppress frequency locking.
In coupled chaotic bistable systems such as Lorenz and Chua oscillators, two-phase domains are formed. The dynamics of each domain is confined to one phase and typically exhibits two types of behavior: oscillation death or nearly periodic oscillations. We elucidate the role of intrinsic broad time scales on the confinement and the oscillation death. Also the effect of external forcing is investigated.
For granular patterns, based on the mass and momentum conservation law, we present a simple continuum model to explain the transition between squares and stripes in vertically oscillated granular layers. The study shows that the transition depends on a competition between lateral movement and the local saturation. The large lateral transfer leads to squares formation, however the local saturation prohibits it and stripes form. We also observe the crossroll and the zigzag instability. By introducing the period doubling bifurcation, hexagonal patterns is obtained.
Throughout all these studies, we show that the competition between local dynamics and coupling is important for pattern formation and determines its dynamics.
복잡계의 모형으로서, 비선형 진자의 연결망 (reaction diffusion system)을 연구하였다. 이러한 모형은 물리계, 화학계, 또는 생물계에서 일어나는 다양한 현상에 적용가능하다. 이러한 reaction diffusion system은 local reaction과 coupling 구조에 따라 분류가 가능하다. 이중에서도 coupling은 확산 (diffusion) 형태인 경우를, reaction은 진동(oscillatory) 형태 또는 두개의 날개구조를 가지고 있는 혼돈 (chaotic bistable) 형태인 경우를 고려하였다.
oscillatory media에서는 일반적인 문양으로서 나선문양(spiral)이 나타난다. 이에 주기적인 섭동을 가하였을 때 나타나는 공명 현상과 그로 인한 주기 잠금 및 문양 동역학에 대하여 연구하였다. 공명현상을 고려하기 위하여 Complex Ginzburg-Landau equation에 continuous time translation symmetry를 깨고 discrete time translation symmetry만을 가지는 항을 첨가하였다. 위상 방정식을 이용하여 실험에 부합되는 계수의 조건을 구한 후 이 조건하 에서 주기잠금해의 안정성을 구하여 Arnol'd tongue 구조를 구하였다.
n이 정수인 경우 n:1 공명에서는 기본적으로 n개의 영역(domain)을 갖는 2πi/n front가 나타난다. 이 때 front의 동역학에 chirality가 중요한 역할을 한다. 3:1인 경우는 chirality가 존재하므로 2πi/3 front는 언제나 회전한다.
주기잠금해는 local oscillator와는 달리 diffusion의 영향으로 외부 섭동이 어느 이상 가해져야만 안정하다. 한 편 n=2인 경우는 local oscillator가 준주기운동을 하는 경우에도 diffusive coupling의 영향에 의해 주기 잠금된 미로형태의 문양이 나타남을 볼 수 있었다. 섭동주파수가 자연주파수의 유리수배보다 낮은 경우에는 diffusion은 주기잠금을 방해하며 반대의 경우는 주기잠금을 돕는다. 이는 diffusion에 의해 계의 고유주파수가 높아지는 효과를 갖기 때문으로 이해할 수 있다.
Chaotic media의 경우에는, 매질이 chaotic bistable한 특성을 가지는 경우를 연구하였다. 이러한 계에서는 두개의 위상을 가진 영역(domain)이 감금 (confinement)현상과 진동멈춤 (oscillation death)의 특성을 보인다. 이러한 동역학을 local dynamics가 가지고 있는 다양한 진동수 (broad time scale)을 이용하여 설명하였다. 한편 Lorenz system을 연결한 계에 외부에서 힘을 가하는 경우, 주기잠금현상이 일어나면서 감금 (confinement)현상이 깨지는 것을 관측하였다. 이 경우 local dynamics가 동기화되는 매개변수와 감금이 깨지는 매개변수는 거의 일치하지만 약간의 차이가 존재하는데, coupling에 의하여 계의 주파수가 변화하는 것으로 설명할 수 있다. 이러한 특성은 oscillatory media에 대한 연구결과 매우 흡사하다.
마지막으로 이러한 연구의 응용으로써 외부에서 떨어줄 때 나타나는 모래알갱이의 문양(granular pattern)에 대하여 고찰하였다. 이 현상은 oscillatory media에서 2:1 공명이 일어나는 경우와 유사하다. 단 coupling으로서 확산 (diffusion) 뿐만 아니라 대류(convection)까지 고려해주어야 하며, 외부에서 힘이 가해지지 않을 때는 모래알갱이는 진동하지 않는다는 점이 다르다. 질량과 운동량 보전을 고려하여 Navier-Stokes 방정식을 단순화한 형태를 이용하여 모델을 만들고, 사각문양과 줄무늬 문양 사이의 전이과정에 대하여 연구하였다. 특히 충돌에 의하여 일어나는 local saturation과 옆 방향으로의 이동간의 경쟁이 이러한 전이과정을 결정한다는 것을 발견하였다.
이러한 모든 연구를 통틀어서 다음과 같은 질문에 대답하기 위하여 노력하였다. coupling에 의하여 일어나는 현상은 무엇인가? 이러한 현상은 coupling이 없는 경우에 비하여 어떤 특징을 가지고 있는가?
특히 계의 고유한 동역학(local reaction)과 그들 사이의 연결(coupling)에 의한 효과사이의 경쟁이 문양형성 및 동역학에 중요하다는 것을 강조하고 싶다. Oscillatory media에서는 coupling에 의하여 계의 주파수가 바뀌게 되어 local dynamics의 Arnol'd tongue과는 다른 형태의 주기잠금 현상을 볼 수 있었다. 이들 사이의 경쟁에 의하여 복잡한 동역학을 보여주는 domain이나 미로 형태의 문양이 생기는 과정을 설명할 수 있었다. 한편 chaotic bistable system에서는, coupling은 local dynamics에서 일어나는 두 영역 사이의 왕복을 막고 계가 한 영역안에 갖히게 만든다. forced lorenz system에 대한 연구는 이 경우에도 coupling에 의한 계의 주파수 변화가 동기화 현상에 영향을 주어 local dynamics와는 다른 양상이 나타나는 원인이 된다는 것을 보여준다. 모래알갱이의 문양에서도 둘 사이의 경쟁에 의하여 사각무늬와 줄무늬 사이의 전이가 결정됨을 알 수 있었다. 이러한 결과들은 local reaction과 coupling 사이의 경쟁이 문양의 동역학에 미치는 영향을 잘 말해주고 있다.
