The purpose of this work is to study mean and uniform convergence of Hermite, Hermite-Fej&eaute;r and Lagrange interpolation polynomials based at zeros of orthogonal polynomial with respect to Freud weights, ErdÖs weights on R and Exponential weights on (-1,1).
D. S. Lubinsky, D. Matjila and S. B. Damelin obtained results about necessary and sufficient conditions for $L_p(1＜p＜∞)$ convergence of Lagrange interpolation based at the zeros of orthogonal polynomials for the Freud, ErdÖs, and Exponential weights on (-1,1), respectively. From J. Szabados' observation by adding two points at the set of zeros, D. S. Lubinsky and G. Mastroianni improved Lubnisky and Matjila's results for the Freud weights and D. S. Lubinsky obtained improved results for the exponential weights on (-1,1). On the other hand, J. Szabados studied uniform convergence of Lagrange interpolation for Freud weights with respect to the zeros of orthogonal polynomials together with two additional points. This choice of points was shown to yield more optimal $L_∞$ results than those of D. Matjila. S. B. Damelin generalized the results of J. Szabados to ErdÖs, weights and non SzegÖ class weights on (-1,1). In Chapter 3, we obtain necessary and sufficient conditions for $L_p(0＜p≤1)$ convergence of Lagrange interpolation and we improve results for the case of ErdÖs weights by estimates of converse Marcinkiewicz-Zygmund inequalities in adding two points. Also, we establish a necessary condition for weighted $L_p(0＜p＜∞)$ convergence of Lagrange interpolation for continuous functions f which vanish outside finite fixed interval J ⊂ R or (-1,1) in case of Freud, ErdÖs weights as well as exponential weights on (-1,1). Our class of functions is the smallest for which convergence questions in weighted $L_{p}$ spaces are meaningful and so our necessary condition is the least we can expect to achieve convergence.
D. S. Lubinsky and P. Rabinowitz, motivated by earlier work of P. Nevai and P. Vertesi, investigated sufficient conditions for $L_1$ and $L_∞$ convergence of Hermite and Hermite-Fej&eaute;r interpolation for a class of Freud and ErdÖs weights at the zeros of orthogonal polynomials. J. Szabados subsequently generalized these $L_∞$ results for Freud wegihts. In Chapter 4, we study $L_p(0＜p＜∞)$ convergence of Hermite and Hermite-Fej&eaute;r interpolation for classes of Freud and ErdÖs weights on the real line. The underlying investigation extends earlier works where the case p=1 was covered. For the uniform convergence, we obtain more general weight conditions for the uniform convergence of Hermite-Fej&eaute;r interpolation polynomials than results of D. S. Lubinsky and J. Szabados. R. Sakai, P. V&eaute;rtesi and Y. Xu studied weighted uniform and mean convergence of Hermite and Hermite-Fej&eaute;r interpolations of higher order at the zeros of Jacobi polynomials and there have been earlier works on Krylov-Stayermann interpolation for Jacobi polynomials and an interesting survey on this topic and related subjects. Recently, Y. Kanjin, T. Kasuga and R. Sakai have investigated, in particular, convergence of Hermite-Fej&eaute;r interpolation of higher order for the Freud weight of the form $w^2(x) = $exp(-x^m)$, $m=2,4, …. In Chapter 5, we investigate $L_p(0＜p＜∞)$ convergence of Hermite-Fej&eaute;r and Hermite interpolation of higher order at the zeros of a sequence of orthogonal polynomials with respect to a class of Freud weights and ErdÖs weights on the real line. In addition to recovering some known results on weighted Lagrange, Hermite and Hermite-Fej&eaute;r interpolation for even Freud weights on the real line, we can also obtain new results for Krylov-Stayermann interpolation and higher order processes for Freud weights on the real line for arbitrary fixed values of m. We thus provide a new method by which all the results obtained so far. Moreover, in order to estimate this higher order case, we obtain some good upper bound of $|\frac{p^{(r)}_n(x)}{p'_n(x)}$ at the zeros of orthogonal polynomial, $p_n(x)$ in this chapter. From this result, we can also obtain general conditions for mean and pointwise convergence of Hermite-Fej&eaute;r and Hermite interpolation of higher order at the zeros of a sequence of orthogonal polynomials with respect to a class of Freud weights and ErdÖs weights on the real line
Finally, we consider the generalized Hermite-Fej&eaute;rr interpolation polynomials including usual Hermite-Fej&eaute;r and Hermite interpolation polynomials. By estimation of a kind of Lebesgue function for the generalized Hermite-Fej&eaute;r interpolation polynomials, we obtain an error bound for convergence in Chapter 6.
지금까지, Jacobi weight와 같이 유한구간 $[-1,1]$에서 support를 갖고 ±1에서 다항함수의 growth를 갖는 weight 함수에 관한 직교 다항식에 대한 많은 성질들이 연구되고 알려져 왔으며 이러한 성질들을 바탕으로 일반화된 Jacobi weight 에 대한 직교 다항식의 근들을 base points로 하는 여러 가지 보간 다항식의 수렴성에 대한 연구가 있어왔다. 그 중에서 Lagrange interpolation, Hermite-Fej&eaute;r interpolation, 그리고 Hermite interpolation등에 관한 것들이 대표적이다.
최근에는, 실수전체를 support로 갖는 Hermite weight($exp(-x^2/2)$)와 같은 $exp(-Q(x))$ 타입의 지수적 가중함수에 관하여 활발한 연구가 이루어왔다. 지수적 가중함수에 있어서, Q(x)의 growth에 따라 분류되는데, 다항함수의 growth를 갖는 경우를 Freud weight라하고, Hermite weight가 대표적인 예이다. 또한, 다항함수보다 growth가 빠른 경우를 ErdÖs weight라 한다. 아울러, support는 유한구간 [-1,1]을 갖지만, Jacobi weight와는 다르게 ±1에서 지수적 growth를 갖는 [-1,1]구간에서의 exponential weight라 하며, 이들에 대한 연구가 중점적으로 이루어져왔다. 이를 계기로, 본 논문에서는 위의 세가지 타입의 weight함수에 대한 직교 다항식의 성질들을 이해하면서, 그들의 근들을 base points로 하는 Lagrange, Hermite-Fej&eaute;r, 그리고 Hermite interpolation의 수렴성을 연구한다.
제 3장에서는 Lagrange interpolation에 관하여 다룬다. Lagrange interpolation의 $L_p(1＜ p ＜ ∞)$수렴에 관한 사실들을 소개하면서, 그수렴성을 0 ＜ p ≤ 1로 확장시킨다. Lagrange interpolation에 여분의 두점을 추가시킴으로써 그 수렴성을 향상시킬 수 있는데, K\H{o}nig의 방법을 이용한 Converse Marcinkiewicz-Zygmund inequalities를 계산하고, 이를 이용하여 확장된 Lagrange interpolation의 수렴조건을 밝힌다. 또한, 균일수렴에 대한 오차의 한계측정을 위한 Lebesgue 함수의 측정값들을 소개한다. 더불어, 유한구간에서 support를 갖는 함수 $f$에 대한 수렴조건을 조사함으로, Lagrange interpolation의 수렴에 필요되는 일반적인 형태의 최소한의 수렴조건을 제시한다.
제 4장에서는 Hermite-Fej&eaute;r 와 Hermite interpolation에 관하여 다룬다. 앞서 말한바와 같이, 일반화돠 Jacobi weight에 대하여는 Hermite-Fej&eaute;r 와 Hermite interpolation 에 대한 많은 연구결과들이 있어왔으나, 그외의 weight에 대해서는 실제로 Lagrange interpolation에 비하여, 비교적 일반적인 연구가 이루어지지 못한 부분으로 특수한 상황에서의 몇가지 결과들이 알려져 왔다. 따라서 이번 장에서는, Hermite-Fej&eaute;r 와 Hermite interpolation의 $L_p(0＜ p ＜ ∞)$ 수렴조건에 관한 결과와 균일수렴에 대한 조건을 보이고, 오차의 한계를 측정한다.
제 5장에서는 고차의 Hermite-Fej&eaute;r 와 Hermite interpolation에 관하여 다룬다. Hermite-Fej&eaute;r 와 Hermite interpolation을 고차로 확장하기 위하여 먼저, Markov-Bernstein 부등식의 성질을 이용하여 직교 다항식의 근에서의 $|\frac{p^{(r)}_n(x_{kn})}{p'_n(x_{kn})}|$에 대한 적절한 upper bound값을 계산하고, 이를 이용하여, 고차의 Hermite-Fej&eaute;r 와 Hermite interpolation 수렴성을 보인다. 아울러, 제 6장에서는 일반화된 Hermite-Fej&eaute;r interpolation의 균일 수렴에 대한 오차의 한계를 간단히 보인다.
