This thesis considers various types of inverse problems such as
inverse boundary value problems for the heat equation, a free
boundary problem arising in plasma physics, the electrical
impedance tomography (EIT), and the magnetic resonance electrical
impedance tomography (MREIT). The theoretical foundations such as
the uniqueness, the existence, and the stability are investigated
in each case. We present a unified framework of the Newton-type
iterative reconstruction algorithm based on the domain derivative.
First, we present a geometrical approach to the domain
derivative, which provides the straightforward differentiation
method of a boundary value problem. Using some differential
geometric notions we mathematically justify this method. The
obtained closed formula of the domain derivative is congruent to
the known results on some kinds of partial differential equations
by the standard weak formulation method, and moreover our formula
is applicable to other types of partial differential equations
without modifications.
Second, the inverse heat problems formulated by the aid of
initial-boundary value problems with Dirichlet and Neumann
boundary condition are considered. We show the uniqueness of
these inverse problems and develop a regularized Newton-type
reconstruction algorithm. In order to reduce the computational
time we suggest a collocation method using boundary integral
formulation. On the other hand, we show that the null space of
the linearized map induced by the domain derivative consists of
tangential vector fields, the counterpart of which on the inverse
obstacle problem governed by Helmholtz equation is still
unresolved.
Third, initial guess finding is important in the Newton-type
reconstruction algorithm. This thesis presents a real time and
stable algorithm for giving a good initial guess in some types of
inverse problems. We present a rigorous proof and numerical
simulations for the algorithm giving a good initial guess,
especially for the inverse conductivity problem.
Finally, MREIT has a great potential to the clinical engineering,
since it furnishes the image with incredibly high resolution of
the electrical conductivity distribution inside the human body.
For the mathematical theory of MREIT we introduce a highly
nonlinear direct problem equivalent to the original inverse
problem. We show that this nonlinear problem has both
non-existence and non-uniqueness under one measurement.
Mathematical analysis considering counter-examples shows that the
reconstruction can be successfully obtained by two measurements.
The presented \textit{J-substitution algorithm} uses the
successive substitution of the conductivity coefficient in the
direct problem, so that this algorithm does not require nonlinear
least squares optimization algorithm that is computationally
expensive.
본 논문에서는 열방정식의 역문제, 플라즈마 영역 추정 문제, 전기
임피던스 추정법 (electircal impedance tomography), 자기공명 전기
임피던스 추정법 (magnetic resonance electircal impedance
tomography)등 여러 가지 형태의 역문제를 연구하였다. 각각의
역문제를 지배하는 편미분 방정식이 모두 다르므로 각각의 경우에
해당하는 특별한 수학적 분석(유일성, 존재성, 안정성 등등)은
독립적으로 이루어졌다. 하지만 물체 내부의 구조를 외부에서 얻은
물리적 정보로 역추정 해 낸다는 목적은 모두 동일하다. 이 논문은
영역미분(domain derivative)을 바탕으로 하는 뉴톤 반복법을
이용하여 내부구조를 복원하는 방법을 주로 택하고 있다. 특히 이
방법을 열방정식의 역문제와 플라즈마 영역 추정 문제에 대하여
상세히 설명하였다.
첫 번째로 영역미분을 통합적으로 다루기 위해서 각각의 역문제의
변분법적 형식(variational formulaion)을 이용하여 계산하는 기존의
방식 대신에, 미분기학적인 방법을 이용하여 편미분 방정식 자체를
직접 미분하는 방법을 개발하고 증명함으로써 모든 편미분방정식에서
사용할 수 있는 영역미분의 형식을 도출하였다. 이 결과는 이미
알려진 몇몇 편미분 방정식의 영역미분의 형식과 정확히 일치하며,
다른 형태의 알려지지 않은 편미분방정식의 영역 미분을 도출하기
위하여 복잡한 계산을 더 이상은 할 필요가 없게 되었다.
두 번째로 열방정식의 역문제에서는 물체 내부의 특별한 부분(얼음이나
열절연체)을 복원하는 문제를 다루고 있다. 이 문제는 Dirichlet나
Neumann경계조건에 해당하는 열방정식으로서, 각각의 경우에 대하여
유일성을 증명하였으며, 또한 그 문제들에 해당하는 영역 미분의
형식을 도출해 내었고 이를 이용한 뉴톤 반복법을 고안하였다.
실질적으로 이 방법을 이용하여 역문제를 풀기 위해서는 열방정식으로
이루어진 순문제(direct problem)를 자주 풀어야 한다. 계산 속도를
줄이기 위해서 경계적분 방정식의 형식으로 된 순문제 알고리즘을
고안하였고 성공적으로 적용되었다. 한편, 영역미분을 통해 유도되는
선형화 사상(linearized map)의 영공간(null space)은 경계면에
접하는 벡터장으로 이루어져 있음을 밝혀 내었다. 이는 어떤 영역이
자기들끼리 회전하고 있는 (전체적으로는 모양의 변화가 전혀 없는)
경우에는 그 위에서의 편미분 방정식의 해 역시 변하지 않는다는
직관을 수학적으로 증명한 것에 해당한다. 지극히 당연해 보이지만
헬름홀츠 방정식을 따르는 역산란 문제의 경우에는 아직도 미해결인
문제이다.
세 번째로 내부구조 복원을 위한 뉴톤 반복법은 좋은 초기조건을 미리
알고 있어야 한다는 태생적 한계를 가지고 있다. 그렇지 않다면, 뉴톤
반복법은 엉뚱한 곳으로 수렴해 가거나 전혀 수렴하지 않을 수도 있다.
이 논문에서는 몇몇 역문제의 경우에서는 아주 쉽고 순간적으로 좋은
초기조건을 결정해 주는 방법을 제공하고 있다. 이런 식의 연구는
아직까지 거의 이루어지지 않은 상태이다. 본 논문에서는 특히 전기
임피던스 추정법에 관하여 이 방법을 집중적으로 연구하였다. 심도
있는 수학적 증명과 함께 여러 가지 수치 모의 실험도 수행되었다.
네 번째로 본 논문이 제시하는 자기공명 전기 임피던스
추정법(MREIT)은 아직까지 어떠한 기계도 제공해주지 못하는 인체
내부의 전기적 저항분포를 놀랄만한 해상도로 복원시켜 준다. 이것은
의료공학에서 아주 중요하게 쓰일 잠재력을 가진 결과이다. MREIT는
기존의 전기 임피던스 추정법(EIT)과 자기공명촬영장치(MRI)를
복합적으로 이용하여 특별한 알고리즘 ($J$-substitution algorithm)을
고안함으로써 가능하였다. 이에 대한 수학적 분석은 MREIT의 역문제를
동등한 비선형 편미분 방정식으로 표현되는 순문제(direct problem)로
바꿈으로써 시작한다. 놀랍게도 이 바뀐 비선형 순문제는 유일성과
존재성을 갖고 있지 않다는 사실을 증명하였다. 이 분석을 통하여
우리는 최소한 두 번의 서로 다른 측정이 필요하며 이를 이용하여
성공적으로 내부 전기 저항 분포를 복원할 수 있음을 증명하였다.
게다가 기존의 역문제의 해결법과 달리 동등한 비선형 순문제를
이용하여 몇 가지 결점이 있는 뉴톤 반복법 대신에 직접적인 저항
계수의 치환을 통한 반복 계산법 ($J$-substitution algorithm)을
제시하였다. 이 방법은 뉴톤 반복법보다 훨씬 빠르고 안정적이며, 그
속도는 정확히 순문제의 수치적 해법의 속도에 비례한다.
