The thesis is devoted to develop numerical methods for computing the Cauchy principal value integrals. It is concerned an integral Q(f;t) defined by
\begin{displaymath}
Q(f;t)=\int_{-1}^1\frac{f(\tau)}{\tau-t}d\tau=
\lim_{\epsilon\to0}\big\{\int_{-1}^{t-\epsilon}+
\int_{t+\epsilon}^1\big\} \frac{f(\tau)}{\tau-t}d\tau ,
\qquad ltl<1
\end{displaymath}
with a smooth function f. By making use of the change of variables $\tau$=cos y and t=cos x, we prove that the Cauchy integral Q(f;t) can be transformed by a standard integral of the form
\begin{displaymath}
Q(f(cos\cdot);cosx)=\int_0^{\pi}
\frac{h(y)siny-h(x)sinx}{cosy-cosx}dy := Q(h;x), \quad say,
\end{displaymath}
where h(x)=f(cosx). Three algorithms for evaluating the integral Q(h;x) are described. One algorithm is based on a knowledge of the Fourier series expansion of h on [0, π], the other two algorithm on polynomial interpolations to h at the zeros of Nx and sin x sin Nx, respectively. Convergence theorems are given for each algorithm and Stability analysis for the two methods based on the polynomial interpolations are given. We prove that the last method has a uniform error bound independent of the set of pole values. This fact enables us to construct an automatic algorithm for evaluating the set of approximations {$Q_N$} for the integral $Q(h;x)$. In order to check potentialities of the proposed quadrature rules, we apply the methods to a solution of some singular integral equations occurred in analyzing a center cracked panel subjected to both normal and shear tractions.
본 논문에서는 다음과 같이 주어진
\begin{displaymath}
Q(f;t)=\int_{-1}^1\frac{f(\tau)}{\tau-t}d\tau=
\lim_{\epsilon\to0}\big\{\int_{-1}^{t-\epsilon}+
\int_{t+\epsilon}^1\big\} \frac{f(\tau)}{\tau-t}d\tau ,
\qquad ltl<1
\end{displaymath}
Cauchy 특이 적분 Q(f;t)에 관한 수치구적법에 관하여 연구하였다. 먼저 적분변수 t와 극점(pole) t를 각각 τ = cos y와 t = cos x로 치환하여, Cauchy 특이적분 Q(f;t)를 다음과 같이 특이성이 없는 일반적인 Riemann적분으로 바꿀 수 있음을 밝혔다.
\begin{displaymath}
Q(f(cos\cdot);cosx)=\int_0^{\pi}
\frac{h(y)siny-h(x)sinx}{cosy-cosx}dy,
h(y)=f(cosy).
\end{displaymath}
위 식의 오른쪽을 간단히 Q(h;x)라 두고 적분 Q(h;x)에 대한 세가지의 구분구적법(quadrature rule)을 연구하였다. 첫째, 본 논문에서 필요한 idea를 얻기 위하여여, 함수 h(x)에 대한 Fourier급수를 이용한 가장 기본적인 알고리듬을 개발하였다. 나머지 두 방법은 각각 삼각함수 cos Nx와 sin x sin Nx의 근들의 집합에서의 함수 h(y)에 대한 라그랑제(Lagrange) 보간다항식(interpolation polynomial)을 이용한 구적법을 연구하였다. 각각의 방법들에 대한 구적법의 수렴성(convergence)을 조사하였다. 또한, 보간다항식을 이용한 구적법들에 대해서는 구적법의 안정성(Stability)을 연구하였다. 특히, 삼각함수 sin x six Nx의 근들의 집합에서의 보간다항식을 이용한 구적법은 극점 x에 대하여 독립적(independent)이고 일양(uniform)적인 오차상한(error bound)을 가짐을 증명하였다. 이 사실을 이용하여, 적분 Q(h;x)에 대한 구적법의 집합 {$Q_N$}을 계산하는 자동알고리듬(automatic algorithm)을 구현하였다.
한편, 본 논문에서 구현한 구적법을 이용하여 중앙크랙(center crack)을 해석할 때 유도되어지는 특이 적분방정식의 수치해를 구현하여, 실제의 분석해(analytical solution)와의 차이를 조사하였다.
