The main purpose of this thesis is to examine harmonic sections of Riemannian fibrations. A section of Riemannain fibration is called a harmonic section if it is harmonic as a map into the total space. For the sake of convenience, we organize the thesis as follows:
In chapter 2, some basic concepts and tools are introduced, which provide background materials for this thesis. Frist of all, we will examine the harmonic map. Then, the Riemannian submersions will also be examined. In particular, we will focus on the Riemannian submersion with totally geodesic fibres. Next, we will investigate Grassmannian bundles and study symmetric spaces and Einstein manifolds.
In chapter 3, we will describe the Euler-Lagrange equation for harmonic maps, which are sections of Riemannian fibration with totally geodesic fibres. Such harmonic sections are already used by the other authors such as [11], [12], [14], [22], and [23]. The method used in this thesis is similar in context to that used in the references mentioned above, but these are some differences.
In chapter 4, the results we obtained are applied to smooth distributions on Riemannian manifolds. We will study distributions which are sections of Grassmannian bundle. In fact, an explicit formula for the tension field of distributions in terms of local coordinates appears in [26], and the vertical component has also been studied in [22] and [23]. Therefore, we will show how they can be derived from the general formulas suggested in chapter 3.
In the last chapter, examples of harmonic distributions on Riemannian manifolds will be constructed. In general, an irreducible symmetric space G/K presented by a symmetric pair(G,K) does not carry any G-invariant distribution. Hence, we will construct examples of Einstein manifold with invariant distribution, and then we will show that they are harmonic.
본 논문의 주 목표는 리이만 파이버화의 조화단면을 조화하는 것이다. 리이만 화이버화의 어떤 단면이 전체공간으로의 사상으로서 조화이면 조화단면이라 부른다. 편의상 논문을 다음과 같이 구성한다.
2장에서 이 논문의 배경이 되는 내용들의 기본 개념과 도구들을 소개한다. 먼저 조화사상을 알아보고 다음으로 리이만 미분전사사상을 또한 살펴 볼 것이다. 특히, 우리는 전측지적 파이버를 갖는 리이만 미분전사사상에 관심을 두게 될 것이다. 다음으로 그라스만 속을 알아보고, 대칭공간과 아인스타인 다양체를 연구하게 된다.
3장에서는, 전측지적 파이버를 갖는 리이만 파이버화된 단면들인 조화 사상의 오일러-라그랑쥐 방정식을 기술해본다. 그러한 조화단면들은〔11〕,〔12〕,〔14〕,〔22〕,〔23〕와 같이 다른 학자들에 의해 이미 사용되고 있다. 이 논문에서 사용된 방법은 위에서 언급한 참고문헌에서 사용된 것과 내용은 같으나 일부 다른점이 있다.
4장에서는 우리가 얻은 결과를 리이만 다양체상의 미끈한 분포에 적용해본다. 실제로, 국소좌표로써 분포의 텐션장에 대한 명확한 식이 〔26〕에 있고, 수직 성분은 또한 〔22〕과〔23〕에서 연구되어졌다. 그러므로 우리는 3장에서 제시한 ？란식들로부터 어떻게 그것들이 유도될 수 있는지를 보여 줄 것이다.
마지막 장에서는, 리이만 다양체상의 조화분포 예를 만들게 될 것이다. 일반적으로 대칭쌍으로 표현되는 기약인 대칭공간 G/K는 임의의 G-분변 분포를 가질 수 없다. 그러므로 우리는 불변분포를 갖는 아인스타인 다양체의 예를 만들고, 그 다음 그러한 분포가 조화임을 보일 것이다.
