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Topological properties of semialgebraic $G$-Sets = 준 대수적 $G$-집합의 위상적 특성에 관한 연구
서명 / 저자 Topological properties of semialgebraic $G$-Sets = 준 대수적 $G$-집합의 위상적 특성에 관한 연구 / Dae-Heui Park.
저자명 Park, Dae-Heui ; 박대희
발행사항 [대전 : 한국과학기술원, 2001].
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초록정보

The topological properties of semialgebraic actions of semialgebraic groups on semialgebraic sets are studied. Let $G$ be a compact semialgebraic group. We prove that every semialgebraic $G$-set with finitely many orbit types has a semialgebraic $G$-$\CW$ complex structure. Using this result, we also prove that every semialgebraic $G$-set with finitely many orbit types admits a semialgebraic $G$-embedding into some semialgebraic orthogonal representation space of $G$ for $G$ a compact semialgebraic linear group. An affine semialgebraic $G$-set means a semialgebraic $G$-set which is semialgebraically $G$-homeomorphic to a $G$-invariant semialgebraic set in some semialgebraic representation space of $G$. Let $M$ and $N$ be affine semialgebraic $G$-sets. We find a one to one correspondence between the set of semialgebraic $G$-homotopy classes of semialgebraic $G$-maps from $M$ to $N$ and that of topological $G$-homotopy classes of continuous $G$-maps from $M$ to $N$. We also deal with the equivariant semialgebraic version of a theorem of J. H. C. Whitehead. We also deal with semialgebraic $G$-vector bundles. It is proved that any semialgebraic $G$-vector bundle over an affine semialgebraic $G$-set has a semialgebraic classifying $G$-map. Moreover, we prove that the set of semialgebraic $G$-isomorphism classes of semialgebraic $G$-vector bundles over an affine semialgebraic $G$-set $M$ corresponds bijectively to the set of topological $G$-isomorphism classes of topological $G$-vector bundles over $M$. Finally, we construct the equivariant Whitehead group of affine semialgebraic $G$-sets. It is shown that there is a well-defined Whitehead torsion for any $G$-homotopy equivalence between affine semialgebraic $G$-sets. We also prove the semialgebraic invariance of the Whitehead torsion. Moreover, we construct the restriction homomorphism by restricting $G$ to a closed semialgebraic subgroup $H$ of $G$. We also prove the transitivity property of the restriction homomorphism.

이 논문에서는 준 대수적 변환군론의 위상적 특성들을 다루었다. $G$를 컴펙트 준 대수적 군이라하자. 유한개의 궤도 형태(orbit type)를 갖는 모든 준 대수적 $G$-집합은 준 대수적 $G$-$\CW$ 복합체(complex) 구조를 가짐을 보였다. 이결과를 이용하여, $G$가 적당한 $\GL_n(\R)$의 컴펙트 준 대수적 부분군일때, 유한개의 궤도 형태(orbit type)를 갖는 모든 준 대수적 $G$-집합은 $G$-표현공간의 $G$-불변인 준대수적 부분집합과 준 대수적 $G$-동형임을 보였다. 이러한 $G$-표현공간의 $G$-불변인 준대수적 부분집합과 준 대수적 $G$-동형인 준 대수적 $G$-집합을 아핀(affine) 준 대수적 $G$-집합이라 한다. $M$ 과 $N$을 아핀 준 대수적 $G$-집합들이라 하자. 우리는 $M$ 에서 $N$ 으로 가는 준 대수적 $G$-사상들의 $G$-호모토피 류들의 집합과 $M$ 에서 $N$ 으로 가는 연속 $G$-사상들의 $G$-호모토피 류들의 집합사이의 일대일 대응 사상을 찾았다. 또한 우리는 J. H. C. Whitehead 정리의 군 작용이 있는 준 대수적 변형을 다루었다. 본 논문에서는 준 대수적 $G$-벡터 다발에 대하여도 연구하였다. 먼저 모든 아핀 준 대수적 $G$-집합상의 모든 준 대수적 $G$-벡터 다발은 준 대수적 분류(classifying) $G$-사상을 가짐을 보였다. 더 나아가 주어진 아핀 준 대수적 $G$-집합 $M$ 상의 준 대수적 $G$-벡터 다발들의 준 대수적 $G$-동형 류들의 집합과 $M$ 상의 위상적 $G$-벡터 다발들의 위상적 $G$-동형 류들의 집합사이의 일대일 대응 사상을 찾았다. 끝으로 우리는 아핀 준 대수적 $G$-집합의 군작용이 있는 경우의 (equivariant) 화이트헤드(Whitehead) 군을 만들었다. 또한 두 아핀 준 대수적 $G$-집합들 사이의 $G$-호모토피 동치사상에 대해 잘 정의된 화이트헤드 꼬임(torsion)이 존재하고, 이러한 화이트헤드 꼬임은 준 대수적 $G$-불변임을 보였다. 더나가 준 대수적 군 $G$를 $G$의 닫힌 준 대수적 부분군으로 제한하는 제한 준동형사상(rest\-riction homomorphism)을 만들었으며, 제한 준동형사상이 추이성(transitivity)을 가짐을 보였다.

서지기타정보

서지기타정보
청구기호 {DMA 01014
형태사항 vii, 106 p. ; 26 cm
언어 영어
일반주기 저자명의 한글표기 : 박대희
지도교수의 영문표기 : Dong-Youp Suh
지도교수의 한글표기 : 서동엽
수록잡지명 : "Equivariant semi-algebraic triangulation of real algebraic $G$-varieties". Kyushu J. Math., v.50 no.1, pp. 179-205 (1996)
수록잡지명 : "Semialgebraic $G$ $CW$ complex structure of semialgebraic $G$ spaces". J. Korean math. Soc. , v.35 no.2, pp. 371-386 (1998)
학위논문 학위논문(박사) - 한국과학기술원 : 수학전공,
서지주기 References : p. 97-103
주제 transformation group theory
semialgebraic set
$G$-$CW$ complex
homotopy
vector bundle
변환군론
준 대수적 집합
$G$-$CW$ 복합체
호모토피
벡터 번들
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