The topological properties of semialgebraic actions of
semialgebraic groups on semialgebraic sets are studied. Let $G$ be
a compact semialgebraic group. We prove that every semialgebraic
$G$-set with finitely many orbit types has a semialgebraic
$G$-$\CW$ complex structure. Using this result, we also prove that
every semialgebraic $G$-set with finitely many orbit types admits
a semialgebraic $G$-embedding into some semialgebraic orthogonal
representation space of $G$ for $G$ a compact semialgebraic linear
group.
An affine semialgebraic $G$-set means a semialgebraic $G$-set
which is semialgebraically $G$-homeomorphic to a $G$-invariant
semialgebraic set in some semialgebraic representation space of
$G$. Let $M$ and $N$ be affine semialgebraic $G$-sets. We find a
one to one correspondence between the set of semialgebraic
$G$-homotopy classes of semialgebraic $G$-maps from $M$ to $N$ and
that of topological $G$-homotopy classes of continuous
$G$-maps from $M$ to $N$. We also deal with the
equivariant semialgebraic version of a theorem of J. H. C.
Whitehead.
We also deal with semialgebraic $G$-vector bundles. It is proved
that any semialgebraic $G$-vector bundle over an affine
semialgebraic $G$-set has a semialgebraic classifying $G$-map.
Moreover, we prove that the set of semialgebraic $G$-isomorphism
classes of semialgebraic $G$-vector bundles over an affine
semialgebraic $G$-set $M$ corresponds bijectively to the set of
topological $G$-isomorphism classes of topological $G$-vector
bundles over $M$.
Finally, we construct the equivariant Whitehead group of affine
semialgebraic $G$-sets. It is shown that there is a well-defined
Whitehead torsion for any $G$-homotopy equivalence between affine
semialgebraic $G$-sets. We also prove the semialgebraic
invariance of the Whitehead torsion. Moreover, we construct the
restriction homomorphism by restricting $G$ to a closed
semialgebraic subgroup $H$ of $G$. We also prove the transitivity
property of the restriction homomorphism.
이 논문에서는 준 대수적 변환군론의 위상적 특성들을 다루었다.
$G$를 컴펙트 준 대수적 군이라하자. 유한개의 궤도 형태(orbit
type)를 갖는 모든 준 대수적 $G$-집합은 준 대수적 $G$-$\CW$
복합체(complex) 구조를 가짐을 보였다. 이결과를 이용하여, $G$가
적당한 $\GL_n(\R)$의 컴펙트 준 대수적 부분군일때, 유한개의 궤도
형태(orbit type)를 갖는 모든 준 대수적 $G$-집합은 $G$-표현공간의
$G$-불변인 준대수적 부분집합과 준 대수적 $G$-동형임을 보였다.
이러한 $G$-표현공간의 $G$-불변인 준대수적 부분집합과 준 대수적
$G$-동형인 준 대수적 $G$-집합을 아핀(affine) 준 대수적
$G$-집합이라 한다.
$M$ 과 $N$을 아핀 준 대수적 $G$-집합들이라 하자. 우리는
$M$ 에서 $N$ 으로 가는 준 대수적 $G$-사상들의 $G$-호모토피 류들의
집합과 $M$ 에서 $N$ 으로 가는 연속 $G$-사상들의 $G$-호모토피
류들의 집합사이의 일대일 대응 사상을 찾았다.
또한 우리는 J. H. C.
Whitehead 정리의 군 작용이 있는 준 대수적 변형을 다루었다.
본 논문에서는 준 대수적 $G$-벡터 다발에 대하여도 연구하였다. 먼저
모든 아핀 준 대수적 $G$-집합상의 모든 준 대수적 $G$-벡터 다발은 준
대수적 분류(classifying) $G$-사상을 가짐을 보였다. 더 나아가
주어진 아핀 준 대수적 $G$-집합 $M$ 상의 준 대수적 $G$-벡터
다발들의 준 대수적 $G$-동형 류들의 집합과 $M$ 상의 위상적 $G$-벡터
다발들의 위상적 $G$-동형 류들의 집합사이의 일대일 대응 사상을
찾았다.
끝으로 우리는 아핀 준 대수적 $G$-집합의 군작용이 있는 경우의
(equivariant) 화이트헤드(Whitehead) 군을 만들었다. 또한 두 아핀 준
대수적 $G$-집합들 사이의 $G$-호모토피 동치사상에 대해 잘 정의된
화이트헤드 꼬임(torsion)이 존재하고, 이러한 화이트헤드 꼬임은 준
대수적 $G$-불변임을 보였다. 더나가 준 대수적 군 $G$를 $G$의 닫힌
준 대수적 부분군으로 제한하는 제한 준동형사상(rest\-riction
homomorphism)을 만들었으며, 제한 준동형사상이
추이성(transitivity)을 가짐을 보였다.
