Efficient algebraic methods for calculating eigenpair derivatives of damped system are presented in this paper. The derivatives of eigenvalues and eigenvectors are calculated separately from two equations in Lee et al.’s method, but eigenpair derivatives are obtained from one equation newly developed in proposed method hence proposed method become more efficient.
Proposed method is very efficient in storage capacity and CPU time because the coefficient matrix of proposed equation is symmetric and based on N-space. And numerical stability is guaranteed because coefficient matrix of proposed equation is non-singular.
The more large structure, the more limits are present in approximating dynamic behavior of structure using only first sensitivity of eigenpair. Therefore second sensitivity of eigenpair became important and proposed method is so expanded as to obtain second derivatives of eigenvalues and eigenvectors.
Phenomenon that mass, damping and stiffness matrices of structure are asymmetric appears in the case of special structure, for example gyroscopic system. Eigenpair sensitivities of asymmetric system cannot be found with previous sensitivity method for symmetric system. In this paper, methods for calculating the first derivatives and second derivatives of eigenpair of asymmetric damped systems are presented, too.
Numerical stabilities of each proposed method are proved, and numerical examples for the symmetric and asymmetric systems are considered to compare CPU time of proposed method with previous method’s. As a result, we can know that proposed methods are more efficient than any other previous method.
본 연구에서는 감쇠 시스템의 고유진동수와 모드의 민감도를 구하기 위한 대수적인 방법을 제안한다. 기존 Lee et al.의 방법은 고유진동수와 모드의 미분을 두개의 식으로 따로 구하는 반면 제안 방법은 이를 하나의 식에서 동시에 구함으로서 더 효율적이게 되었다. 제안 식의 계수행렬은 대칭이고 N-space에 기본을 둔 방법이므로 계산 시간 및 저장 용량에 있어 매우 효율적이며, 계수행렬의 정칙(non-singular)특성으로 수치적 안정성이 보장된다.
구조물이 대형화 될 수록 고유쌍의 1차 미분 만으로는 동적 거동을 근사화 하는데 한계가 있다. 이에 고유쌍의 2차 미분의 중요성이 부각되고 있는데, 본 연구에서는 고유쌍의 2차 미분도 구할 수 있도록 제안 방법을 확장 하였다.
특별한 구조물의 경우 시스템의 질량, 감쇠, 강성행렬이 비대칭인 현상이 나타나는데 이 경우 기존의 일반적인 민감도 기법으로는 고유쌍의 미분을 구할 수 없다. 본 연구에서는 비대칭 감쇠 시스템의 고유쌍 민감도와 그 2차 민감도를 계산 할 수 방법도 제안 하였다.
제안방법 각각의 수치적 안정성을 증명하였으며 대칭 시스템의 경우와 비대칭 시스템의 수치예제를 통해 기존 방법과의 계산시간을 비교 하였다. 해석 결과 제안 방법이 기존 민감도 기법에 비해 매우 효율적임을 알 수 있었다.
