Rotating flows with density stratification are investigated. There are three cases in this thesis that are carefully designed to show the effects of density variation in the rotating flows.
Firstly, a numerical study is made for the flow of a density-stratified fluid in a vertical cylinder with a rotating top lid. Under the Boussinesq-fluid assumption, the governing Navier-Stokes equations are numerically solved. For large rotational Reynolds number Re and the cylinder aspect ratio $Ar~O(1)$, details of flow and temperature fields are displayed. The effect of the Prandtl number on global flow patterns is scrutinized for both gravitationally-unstable and gravitationally-stable configurations. Of particular interest is the behavior of the vortex breakdown stagnation bubble under the influence of buoyancy. Plots are presented for the azimuthal vorticity fields, in line with the simple axisymmetric inviscid kinematic consideration. An explicit comparison is made for the individual terms appearing in the azimuthal vorticity equation. For both gravitationally-unstable and gravitationally-stable configurations, the argument based on the behavior of azimuthal vorticity is seen to produce predictions consistent with the numerical results.
Secondly, a numerical study is made of the basic-state flow field of a fluid with a density maximum in a differentially-rotating cylinder. The fluid density reaches a maximum $ρ_m$ at temperature $T_m$, and a quadratic $(ρ-T)$ relationship is used to model the fluid behavior near $T_m$. The temperature at the bottom (top) endwall disk is $T_B$ $(T_T)$, with ΔT ≡ $T_T$ - $T_B$ ＞ 0, and $T_m$ lies between $T_B$ and $T_T$. The rotation rate of the bottom (top) endwall disk is $Ω_B$ $(Ω_T)$, with ε ≡ ($Ω_T$ - $Ω_B$)/$Ω_B$ ≪ 1. Numerical solutions were obtained of the Navier-Stokes equations for large rotational Reynolds number and large Rayleigh number. Detailed flow and density fields are portrayed to be strongly dependent on the density inversion factor γ ≡ ($T_m$-$T_B$)/$(T_T-T_B)$. When γ=0, the results are qualitatively similar to those of a usual Boussinesq fluid with a linear $(ρ-T)$ relationship. It is shown that a modified thermal wind relation prevails in the interior, in which the vertical shear of azimuthal velocity is balanced by the radial gradient of density. As γ increases, the overall strength of meridional circulation grows. The vertical profiles of azimuthal velocity are plotted as γ varies. The Ekman layer suction is intensified as γ increases. The behavior of average Nusselt number $\bar{Nu}$ at the bottom disk with varying γ is discussed and physical rationalizations are given.
Thirdly, a numerical study is made of the flow of a density-stratified fluid in a rotating vertical cylinder. The cylinder container is filled with a non-Boussinesq fluid(water near $4^{o}C$), and its rotation rate changes abruptly at the initial instant. The temperature at the bottom disk $(T_B)$ is density-maximum temperature $(T_m)$, and the temperature at top disk $(T_T)$ is higher than $T_B$. The density-temperature $(ρ-T)$ relation is modeled by a quadratic function. To examine the effect of nonlinear density-temperature relationship, comparisons are made between the cases of a Boussinesq fluid and a non-Boussinesq fluid. The detailed transient flow fields are analyzed to illustrate the salient physics pertinent to spin-up of a non-Boussinesq fluid. The spin-up times of a non-Boussinesq fluid are gauged.
본 박사학위 논문에서는 내부의 밀도가 일정하지 않은 시스템에서의 회전유동에 관한 연구에 중점을 두었다. 잘 알려진 바와 같이 회전유동은 60년대부터 지구유동을 모델로 하여 활발히 연구되기 시작하였다. 최근에는, 원심분리기와 반도체 단결정 성장과정 등의 공학적 중요성이 인식되면서 많은 연구가 진행되고 있다. 대부분의 자연계에 존재하는 회전 시스템의 경우, 내부에 밀도의 구배가 존재하고 이러한 밀도 구배는 회전계에서의 유동장의 거동에 중요한 영향을 미치게 된다.
본 학위 논문의 연구결과 부분은 3개의 장으로 이루어져 있는데 그 중 2장은 회전유동에서 주요한 관심사가 되고 있는 vortex breakdown에 관한 연구를 수행하였다. 이 현상은 Delta wing에서 처음 관찰되었는데 이후에 이러한 현상이 원통용기 내부의 회전유동에서 관찰되었다. 최근에는 이 현상이 엔진의 연료분사기에 응용되고 있다. 본 연구의 경우는, 온도장의 영향이 vortex breakdown에 어떻게 나타나는가에 관하여 연구하였는데, 중력에 대하여 안정한 온도구배가 있는 경우 매우 작은 온도차의 경우는 작은 Prandtl수의 경우에 vortex breakdown 세포의 크기가 증가되는 것을 관찰하였고, 큰 Prandtl수의 경우에 vortex breakdown 세포가 사라지는 것을 관찰하였다. 상대적으로 큰 온도차의 경우에는 Prandtl수의 크기에 관계없이 vortex breakdown 세포가 없어지는 경향을 보였다. 중력에 대하여 불안정한 온도구배의 경우는 매우 작은 온도차의 경우에 안정한 온도구배의 경우와 정반대의 경향을 보이는 것이 관찰되었다.
3장과 4장은 밀도최대치를 가지는 유체의 회전유동에 관한 것이다. 특히, 최근에는 물과 같이 특정 온도에서 밀도 최대치를 가지는 유체의 유동에 관한 연구가 활발히 진행되고 있는데, 이러한 유동의 중요한 응용 예 중의 하나가 깊은 바다 속의 저온의 바닷물의 거동이다. 해수의 유동과 같은 큰 척도의 유동에서는 지구의 회전의 효과가 매우 중요해지고 이러한 경우에 적용할 수 있는 연구는 지금까지 거의 진행되지 않은 실정이다.
3장에서는 원통용기 내부에 밀도최대치의 온도 근처의 유체가 가득 차 있고, 아랫 원판과 위쪽 원판의 회전 각속도가 서로 다르고 온도가 서로 다른 경우에 대하여 연구하였다. 이때 위쪽 원판의 회전각속도가 아래원판의 회전각속도보다 조금 큰 경우이다. 이러한 경우, 윗판과 아랫판의 회전 각속도의 차이에 의하여 자오면 상에 유동이 형성되고, 내부의 회전 각속도 수직 분포는 밀도의 수평 구배에 따라 결정된다. 밀도 구배는 밀도의 최대값을 중심으로 그 부호가 달라지므로, 회전 각속도의 수직 구배는 밀도최대치의 온도의 위쪽에서는 (+)의 부호를 가지게 되지만 밀도최대치의 온도의 아랫쪽에서는 (-)의 부호를 가지게 된다. 이러한 영향으로, 밀도최대치의 온도가 위쪽 원판 근처로 가까이 분포할수록 자오면 상에서의 유동이 강하게 되고, 따라서, 열전달의 크기도 증가하는 경향을 보이게 된다.
4장에서는 밀도 최대치의 온도 근처의 유체가 가득 차 있는 원통용기의 회전수가 초기값에서 갑자기 변하는 경우 내부 유체가 초기의 각속도에서 변화된 각속도로 변화해 가는 과도기적 현상을 연구하였다. 이러한 유동을 spin-up 유동이라고 하는데, 실제로 공학적 응용 예에서 회전 시스템의 회전각속도가 일정할 수 없으므로, 이러한 유동에 대한 연구는 매우 중요하다고 할 수 있다. 균질유체의 경우 spin-up 유동은 원통용기의 중간 높이에 대하여 대칭인 유동을 보이고 내부유체의 spin-up은 수직방향으로 일정한 경향을 보이는 것이 알려져 있다. 그러나, 원통용기 내부의 유체가 중력에 대하여 안정한 밀도 구배를 가지고 있는 경우, 내부 유체의 spin-up은 원통용기의 양쪽 끝의 회전원판 근처에서 더욱 빠른 양상을 보인다. 밀도 최대치의 온도 근처에서는 밀도와 온도가 비선형적인 관계를 가지게 되므로 Boussinesq 유체의 경우와 달리 spin-up 유동은 원통용기의 중간 높이에 대하여 비대칭적인 유동을 보이고 내부유체의 spin-up은 밀도의 수직 구배가 작은 밀도 최대치의 온도 근처에서 더욱 빠르게 진행된다.
부록에는 자연대류에서의 공진현상에 대하여 연구를 수록하였다. 유체의 벽면 온도를 밀도 시간에 따라 진동시키면, 내부의 온도장과 유동장이 시간에 따라 진동하게 되는데, 이때 공진이라는 현상이 발생한다. 이 현상은 고체에서의 공진과 비슷한 현상인데, 내부의 온도분포에 의해 형성되는 시스템의 공진주파수와 가진 주파수가 일치할 때 발생한다. 공진이 발생하는 주파수에서는 벽면에 주어진 온도진동의 크기보다 큰 진동이 내부 유동장과 온도장에 발생하게 된다. 이러한 현상은 열전달 증진을 목적으로 연구되었다. 내부에 밀도최대치를 가지는 유체가 가득 차 있고, 벽면에 주어진 온도진동이 밀도최대치의 온도 근처일 때, 밀도와 온도의 비선형적인 관계에 의하여 밀도 진동은 온도진동과 거동을 달리하게 된다. 이러한 이유로, 공진 이 Boussinesq 유체와 달리 여러개의 주파수에서 발생하게 된다.
