In this paper, hydrodynamic and thermal boundary conditions at the interface between a porous layer and a fluid layer are investigated through a theoretical study. Concerning hydrodynamic boundary conditions at the porous-plain media interface, three kinds of boundary conditions have been suggested and used by previous investigators. They are slip-velocity condition, continuous shear stress condition with continuous velocity condition and slip-shear-stress condition with continuous velocity condition. Using the three boundary conditions, we obtain analytical solutions for velocity distribution for the composite system consisting of the porous layer and the fluid layer.
The heat transfer at the porous-plain media interface is analytically and numerically investigated. A volume-averaged energy equation, which governs the energy transport in the fluid layer, is newly proposed together with the two-equation model due to the non-uniformity of the temperature distribution parallel to the interface in the fluid layer. Under the assumption of the local thermal equilibrium, analytical solutions based on the one-equation model are obtained with a continuous boundary condition with or without a slip-heat-flux condition. When the local thermal equilibrium is not valid, the analytical solutions are solved for temperature distribution using the newly proposed energy equation together with the two-equation model with continuous heat flux and temperature conditions in the sense of the volume averaging and an additional boundary condition obtained from the energy balance in the porous layer.
To determine the most appropriate hydrodynamic and thermal boundary conditions, we introduce an ideal composite system consisting of a fluid layer and an ideal porous layer, which is shaped like a rectangular microchannel. For the ideal composite system, velocity distributions and temperature distributions are obtained by numerically solving the Navier-Stokes equation and the energy equation for the conjugate heat transfer problem. Through a comparison of the analytical solutions with the numerical solutions, we find that the slip-velocity condition is meaningful and appropriate when the Darcy flow model is used. In addition, when the Brinkman-extended-Darcy equation is incorporated, the slip-shear-stress condition with the continuous velocity condition is shown to be the most appropriate because the slip in the shear stress slip occurs at the interface. The analytical solution based on the one-equation model matches well with the numerical solution when the slip-heat-flux condition and continuous temperature condition are satisfied at the interface. The heat-flux-slip condition implies that the effective thermal conductivity suddenly changes at the interface. On the other hand, the analytical solution using the proposed energy equation together with the two-equation model is in close agreement with the corresponding temperature distribution obtained from the numerical method when the continuous temperature and heat flux conditions in the sense of the volume averaging as well as the additional condition are applied.
본 연구는 다공성 층과 유체 층 사이에서의 유체 및 온도에 대한 경계조건에 대해 연구하였다. 본 논문은 크게 두 개의 장으로 나누어 2장에서는 적절한 유체의 경계 조건을 결정하였고, 3장에서는 온도의 경계 조건을 결정하였다.
2장에서는 지금까지 사용되어 온 세가지 종류의 경계면에서 경계조건, 즉 속도의 슬립 조건, 속도와 점성력이 모두 연속인 조건 그리고 속도는 연속이나 점성력은 불연속인 조건을 모두 이용하여 유체 층과 다공성 매질 층에서의 해석해인 속도 분포를 구하였다. 이렇게 구한 해석해가 타당한지를 검증하기 위하여 본 연구에서는 이상적인 복합 시스템을 도입하였다. 이 복합 시스템은 유체 층과 규칙적인 마이크로 채널 형태의 이상적인 다공성 층으로 이루어 졌다. 이 복합 시스템에 대하여 Navier-Stokes 식을 수치적 계산을 통하여 풀어서 속도 분포를 나타내는 수치해를 구하였다. 이상적인 복합 시스템에 대하여 앞에서 구한 다공성 매질 접근법을 이용하여 얻은 세 가지의 해석해와 수치해를 비교하여 적절한 유체 경계면을 결정하였다. 수치적인 방법을 통하여 경계면에서 점성력이 슬립이 일어나는 사실을 확인하였고 이 결과 속도는 연속이나 점성력은 불연속이라는 유체의 경계 조건이 가장 타당함을 확인할 수 있었다.
3장에서는 복합 시스템에서의 열전달 현상을 해석적 방법과 수치적 방법을 이용하여 알아보았다. 우선 2장에서 구한 속도분포를 이용하였고, 다공성 매질 내에서의 에너지 식으로 One-equation model 과 Two-equation model을 모두 이용하여 해석해인 온도 분포를 구하였다. One-equation model은 local thermal equilibrium이 성립한다는 가정에서 고체와 유체 부분의 온도를 동일시 취급했으며, 그 이외의 경우에 대해서는 Two-equation model을 사용하여 고체와 유체 사이의 온도차에 의한 thermal interaction 을 고려하여 정확한 다공성 매질 안에서의 온도 분포를 구할 수 있다. 앞의 2장에서 소개한 이상적인 복합 시스템에서 에너지식을 풀어서 정확한 온도 분포를 수치적으로 구했으며 이 수치해와 해석해 사이의 비교를 통하여 적절한 온도 경계 조건을 결정하였다.
우선 One-equation model에 대해서는 온도는 연속이나 열 유속인 경계면에서 불연속인 경계 조건으로부터 얻은 해석해와 수치해 사이에 일치를 얻었다. Local thermal equilibrium이 성립하지 않은 경우에 대해 이상적인 복합 시스템에서의 온도 분포 결과를 통하여 경계층에서 고체와 유체의 온도 차로 인해 유체 층에서 온도 분포가 z으로 불균일 한 분포를 보임을 확인하였다. 하지만 기존에 사용되는 유체 층에서의 에너지식은 이 효과를 고려할 수 없었다. 본 연구에서는 유체 층 내에서의 thermal interaction을 고려하여 유체 층 내를 지배하는 새로운 지배 방정식을 제시하였다. 또한 two-equation model을 이용할 때의 경계조건으로 volume averaging의 관점에서의 온도와 열 유속이 경계면에서 모두 연속이라는 조건과 다공성 매질 안에서의 에너지 평으로부터 얻은 다른 하나의 경계 조건을 이용하여 해석해인 온도 분포를 구하였다. 이 해석해와 수치해 사이에 일치함을 통하여 본 연구에서 사용한 온도 경계 조건 및 지배 방정식이 타당함을 확인 할 수 있었다.
