Navier-Stokes equations have convective terms which make the equations nonlinear. According to the method computing the convective terms, there are many different schemes. Among them implicit schemes are more stable than explicit ones. Especially when the Reynolds number is large.
In this paper, we introduce an implicit scheme for stationary incompressible viscous Navier-Stokes equations. We check its convergence and the error estimate. We see that the regularity of the solution of Navier-Stokes equations is important to get numerically a good approximate solution of the variational form. For the space discretization, we employ the standard mixed finite element formulation and use the Hood-Taylor element. The driven flow in a square cavity is used as the model problem. Solutions are obtained for Reynolds number 1000 and 2000. For the division of the domain, each side is divided into 15 non-uniform intervals. The total number of elements (of p) is 450.
나비어 스톡스 방정식은 유체를 지배하는 방정식으로서, 운동량보존법칙으로 부터 유도되며 비선형 방정식의 한 축을 이룬다. 나비어 스톡스 방정식의 정확한 해를 구할 수 있는 경우는 매우 제한되어 있기 때문에 수치적 방법으로 그 해를 근사하여 정확한 해를 추측하는 것이 현재의 경향이다. 이때 사용된 수치적 방법의, 해의 존재성과 유일성 그리고 수렴성을 규명하는 것이 필요하다. 나비어 스톡스 방정식을 수치적으로 풀때, 먼저 초기값을 정하고, 그초기값을 원래의 식을 변형하여 얻은 선형식에 적용하고, 이를 반복하여 얻은 수열의 수렴값을 찾는데, 그 수렴성은 수치적 해의 존재성과 유일성을 얻는 과정에서 구해진다.
이 논문에서는 나비어 스톡스 방정식의 일반적인 경계조건에 대해서, 함축적인 수치적 방법에 대한 이산화한 해의 수렴성, 존재성 그리고 유일성을 보였다. 또한, 이산화한 해와 원래의 해의 차이값을 계산하였다. 이때 원래 해의 정칙성이 그차이값을 작게하는데 중요하게 기여함을 보았다.
나비어 스톡스 방정식의 수치적 접근에서 레이놀드 수는 선형화한 행렬식의 계수 행렬에 중요하게 영향을 미친다. 따라서 수치적으로 얻어지는 해와 수치적 안정성은 레이놀드 수에 크게 의존한다. 그러므로 레이놀드 수가 큰 경우를 위한 수치적 방법을 개발하는 것이 필요하다.
