In this thesis, we deal with the behavior of the best polynomial approximation in the inner product spaces $W^{N,2}[-1,1]$ and $W^{1,2}[0,∞ ;e^{-x}].$ We consider two different inner products in $W^{N,2}[-1,1]$, $W^{1,2}[0,∞ ;e^{-x}]$. We denote the best polynomial approximation in two different inner products by $B_{n,α}(x),$ $B_n(x),$ respectively in both inner product spaces. Then we have $\lim_{α→∞}B_{n,α(x)=B_n(x)$ in both inner product spaces. We see that the error of the best polynomial approximation alternates the sign. And the difference of the two best polynomial approximations in different inner products forms a Sobolev orthogonal polynomial system, besides, in $W^{N,2}[-1,1]$, which is complete with respect to the norm which comes from the inner product.
Sobolev 공간에서의 최적 다항식 근사에 대한 연구는 Edgar A. Cohen. Jr. 에 의해 시작되었다. 그러나 Edgar A. Cohen. Jr. 의 연구는 단지 상수 가중치(weight)인 경우만 다루었다. 이 논문에서는 Edgar A. Cohen. Jr. 이 다룬 $W^{1,2} [-1,1]$ 공간을 $W^{N,2} [-1,1]$와 $W^{1,2} [0,∞;e^{-x}]$ 공간으로 확장하여 상수 가중치에서 성립한 성질들이 성립함을 보인다. 여기서 $W^{1,2}[-1,1]$은 f 가 $C^{N-1}[-1,1]$이고 $f^(N)$이 $L^N[-1,1]$ 인 함수들의 공간이고 $W^{1,2} [0,∞;e^{-x}]$ 은 f 가 C[0,∞]이면서 $L^2[0,∞;e^{-x}]$이고 f' 이 $L^2[0,∞;e^{-x}]$인 함수들의 공간이다. 특히 $W^{1,2}[0,∞;e^{-x}]$ 공간에서는 임의의 $f \in W^{1,2}[0,∞;e^{-x}]$에 대해서 $\lim_{x → ∞}f(x)e^{-x}=0$ 이기 때문에 위수(order)가 $W^{1,2} [-1,1]$와 비교해서 1 차이가 있다는 것을 알 수 있다. 더불어 일반적으로 임의의 가중치에 대한 Sobolev 공간 $W^{1,2}[a,b;w(x)]$ 위에서 $\lim_{α → ∞}B_{n,α}(x) =B_n(x)$인 가중치의 예와 Sobolev 공간 $W^{1,2}[a,b;w(x)]$ 이 가지는 성질들을 살펴본다.
