A new interfacial pressure jump term using a closure mechanistic model and a higher-order upwind numerical method are developed to solve the two-phase critical flow problems only with the two-fluid model and the numerical scheme. Since the critical flow phenomenon depends much on the speed of signal propagation and the mixture velocity of two-phase media, it is important for the system of equations to produce real eigenvalues representing the speed of pressure wave.
Interfacial surface tension force based on the physics of phasic interface and the bubble-dynamics is applied to the two-fluid six-equation model of two-phase flow in order to eliminate numerical instability. The pressure discontinuity across a thin interface due to the surface tension force is compactly represented by a function of the fluid bulk moduli. Inclusion of the differential form of the surface tension terms have made the governing equations hyperbolic, even without any conventional additive terms like virtual mass or artificial dissipative terms in the momentum equations.
Real eigenvalues are obtained for the system of equations due to the surface tension term, for the bubbly, slug, and annular two-phase flow regimes. The speed of sound for two-phase mixture derived as a function of the system eigenvalues has shown excellent agreement with the existing experimental data. The equations system can also provide the eigenvalues representing the void wave speed as well as the pressure wave speed and eliminate the closure problem for the bubbly flow regime by using of a mechanistic model for bubble radius based on the kinematic wave speed.
Interfacial surface tension force term has been introduced in the momentum equations of the two-fluid, two-phase flow while we keep at the same time the conventional virtual mass force as a source term. The governing equations with surface tension terms produced a hyperbolic system having real eigenvalues for the bubbly flow, regardless whether the virtual mass terms are added or not. The mixture speed of sound for the two-phase flow, evaluated using the system characteristics, has shown increasing dispersion of small-amplitude waves when the virtual mass terms are added to account for the accelerating flow, care should be exercised therefore not to introduce excessive amount of dispersion.
A high-resolution upwind numerical method based on the flux vector splitting technique with entropy fix is developed for the proposed system of equations. Wave propagation problems with initial pressure pulse and initial void distribution are calculated. Solution of two-phase shock tube problem is also presented as a benchmark test. The Edwards pipe problem accompanying sudden depressurization and flashing is solved to demonstrate as a practical application of the present two-fluid model with higher-order numerical method.
2-유체 모델 및 수치 스킴 만으로써 이상 임계유동 문제를 해석할 수 있도록, 기포반경에 관한 기계적인 모델을 도입한 새로운 계면 압력 점프 항과 이 항이 포함된 지배 방정식계를 풀기 위한 고차 정확도의 Upwind수치기법을 개발하였다. 특히, 이상 임계 유동 현상은 압력파의 속도 및 이상 유체의 유동 속도에 크게 의존하고, 유동 계산시의 비물리적인 고 주파수 불안정성은 복소수 고유치의 존재에 기인하므로 지배 방정식계의 고유치가 압력파의 속도를 나타내는 실수값으로 표현되는 것이 중요하다.
우선, 수치적인 불안정성을 제거하기 위하여 상 경계면의 물리학 및 기포 동역학에 기초한 상 경계면에서의 압력 점프 항이 2-유체 방정식에 적용되었다. 미소두께를 갖는 상 경계면에서의 표면 장력 효과에 기인한 압력 불연속량은 단순히 유체의 Bulk Modulus 및 계면의 곡률반경의 함수로 표현되었으며, 운동량 방정식에 고려된 미분형태의 표면 장력 항은 기존의 가상 질량 항 혹은 인공 감쇄 항을 추가하지 않아도 지배 방정식계를 쌍곡형으로 변환시킨다.
이때, 지배 방정식계의 고유치들은 유체의 Bulk Modulus군에 따라 이상유동의 기포류, 슬러그류 및 환상류에 대하여 실수값을 가지며 이와 같이 해석적으로 구해진 고유치를 통하여 이상 유체에서의 음속이 실험결과와 잘 일치함을 알 수 있었다. 또한, 기포파와 압력파의 속도를 나타내는 고유치들을 가정하여 기포 크기에 관한 Mechanistic Model을 유도함으로써 기포류에 대한 계면 압력 점프 항의 Closure Problem을 해결하였다.
한편, 크기가 비교적 작은 구형 기포의 운동에 관한 물리적 의미를 가짐과 동시에 지배 방정식계의 수치적 안정성 및 계산의 효율을 증진시키는 효과를 가지는 것으로 알려진 가상 질량 항을 본 계면 압력점프 항과 함께 운동량 방정식에 고려하였을 경우에도, 지배 방정식계는 가상 질량항의 유무에 관계 없이 실수의 고유치를 가짐을 알 수 있었다. 그러나 두 항의 미분 항에 따른 고유치의 변화에 의하여 압력파 속도가 저하됨을 확인 하였다. 그러므로 이상 임계유동 등의 경우와 같이 압력파의 전파속도가 유동현상을 기술함에 있어 매우 중요한 인자가 될 경우에는 가상 질량 항의 사용이 임계 유동 조건에 직접 영향을 미치는 점에 유의해야 한다.
이와 같이 유도된 지배 방정식계가 쌍곡형이므로 압축성 유체 유동을 계산하기 위하여 개발된 Flux Vector Splitting기법을 이용할 수 있게 되었다. 특히 유동장에 충격파 등의 불연속현상이나 급격한 과도 현상이 존재할 경우에 보다 정확한 해를 구하기 위하여 시간 및 공간에 대한 고차 정확도의 Upwind 스킴을 도입하였고 수치 스킴의 특성상 나타날 수 있는 오류를 제거하여 음속점이나 불연속에서도 Glitch 및 수치 진동이 없는 유연한 해를 제공할 수 있도록 하였다. 이렇게 개발된 코드를 검증하기 위하여 우선, 초기의 압력 Pulse 및 기공률의 불연속에 기인한 파의 전파문제를 계산하였다. 또한 Benchmark문제로서 이상유체 충격파관 문제를 계산하고, 보다 현실적인 문제의 예로서 급격한 압력강하 및 Flashing이 수반되는 Edwards Pipe문제를 다루어, 본 연구에서 제안한 2-유체 모델 및 고차 정확도 수치기법이 이상 임계유동 등 파의 전파에 의존하는 이상 유동문제의 해결 및 Bubble Dynamics 등에 적용될 수 있음을 보였다.
