In part Ⅰ, we developed a new method that properly elucidates the effects of temperature on the free electron system and does not require the restriction of the Sommerfeld expansion method. Our method is based on the observation that the Fermi distribution function has an infinite number of poles in the complex momentum plane at finite temperature. By applying the Euler-Maclaurin formula we transform the residue contributions from the poles into the colsed form which is accurate up to the several times of the Fermi temperature $T_F$. Using our method we obtained the analytical results of the temperature dependent free electron susceptibilities $χ_d(q,T)$ and $χ_d(r,T)$ for all dimensiion $(d=1,2,3)$. Our analytical results show that irrespective of dimension, the singular behavior of $χ_d(q)$ at $q=±2k_F$ becomes suppressed at nonzero temperature as the singular points transit to complex wave vectors $2k_0^±$, and this transition makes $χ_d(r)$ to be exponentially damped with common damping factor $e^{-2η_0 sin φ_r k_F r~e^{-π T′ k_F r}$ for low enough temperature, where the exponent of damping factor corresponds to an imaginary part of wave vectors $2k_0^±$. Furthermore we showed that the poles of the Fermi distribution function are identical with those of the free electron temperature Green's function by extending our theory to the Green's function formalism. Finally we calculate the temperature dependent free electron dynamic response function for three dimension, which plays a very important role in the theory of the electron correlation.
In part Ⅱ, we calculate the thermodynamic properties of 2D interacting Bose gases in semiclassical Hartree-Fock model and demonstrate the importance of the consistent treatment of mutual interaction between the condensate and the thermal component in determing the critical behavior of 2D Bose-Einstein condensation (BEC). In contrast to the case where the interaction from the thermal component is neglected, our results show a lowering of the critical temperature and increase of the critical chemical potential due to the short-range repulsive interaction. Next, by extending the calculation to the full Hartree-Fock approximation, we analyze the finite size effects for 2D BEC, and show the continuous transition from the normal Bose gases to BEC across the critical temperature by determing the chemical potential from the number conservation condition. Furthermore we present a new efficient algorithm to solve the Gross-Pitaevskii equation and show that the computation can be rapidly reduced using the hybrid method.
제 1장에서는 기존의 Sommerfeld 방법과 같은 적분함수의 제한을 가지지 않으면서 자유전자 모델에 대한 온도효과를 이론적으로 계산 할 수 있는 새로운 방법을 제시하였다. 우리의 이론은 온도가 0 이 아닐 때, 페르미 분포함수가 모멘텀의 복소평면에서 무한개의 특이점을 (singular points) 가지고 있다는 발견에서 시작한다. 이러한 특이점들의 적분에 대한 기여를 계산 한 후, Euler-Maclaurin 방법을 사용하여 특이점들의 합을 해석적인 결과식으로 변환하였다. 우리의 방법은 모든 온도에 대해서 정확하면서도 해석적인 결과식을 줄 수 있다. 이러한 방법을 사용하여 RKKY (Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida) 상호작용의 온도효과를 결정짓는, 온도에 의존하는 자유전자 자화율을 (spin susceptibility function) 모든 차원에서 이론적으로 계산하고 해석적인 결과를 제시하였다. 계산 결과, 절대온도 0 도에서 모멘텀 공간에서 존재하는 자유전자 자화율의 특이점들이 온도가 높아지면서 해소되고, 이러한 특이점들의 해소가 실공간에서의 (real space) 자화율에 지수함수적인 감쇄효과를 (exponential damping) 준다는 사실을 해석적으로 보였다. 아울러, Green 함수이론에 대한 연구를 통하여 페르미 분포함수의 특이점들이 온도에 의존하는 자유전자 그리함수의 특이점으로부터 발생함을 보이고, 자유전자 자화율의 계산에서 causality relation 이 중요한 역할을 한다는 점을 보였다. 마지막으로 서로 상호작용이 있는 전자들의 이론적인 기술에 필수적인 자유전자 반응함수의 온도효과를 진동수공간까지 확장시켜 해석적으로 계한하였다.
제 2장에서는 먼저, 서로 상호작용하는 이차원 보즈가스의 열역학적 성질들을 비응축원자들과의 상호작용을 일관성 있게 고려한 two-fluid 모델에서 계산하였다. 계산결과, 원자들 사이의 상호작용이 임계온도 (critical temperature) 근처에서의 열역학적 성질들을 규명하는데 아주 중요한 역할을 한다는 점을 보였고, 임계온도와 임계화학 포텐셜에너지에 (critical chemical potential) 대한 상호작용의 효과를 해석적인 결과로 제시하였다. 두번째로, 양자계산과 준고전적인 계산방법을 병용한 hybrid 방법을 사용하여 이차원 보즈가스의 Hartree-Fock 계산을 수행하였다. 이러한 계산에서, 화학포텐셜에 finite size effects 를 도입함으로서 임계온도 근처에서의 계산의 불일치성을 없애고, 정상적인 보즈가스로부터 (normal bose gases) 응축상태로의 연속적인 전이를 (transition) 보여주었다. 아울러, 비선형 슈뢰딩거 방정식으로 기술되는 응축상태의 파동함수를 아주 효과적으로 계산할 수 있는 새로운 알고리듬을 제시하였다. 앞서 계산한 열역학적 극한에서 정확한 계산결과와 Hartree-Fock 계산결과를 비교함으로서, 상호작용이 있는 이차원 보즈가스에서의 finite size effects 를 이론적으로 보여주었다.
