In this thesis, we are concerned with the skew products of ergodic transformations. Investigating the ergodic properties of skew products is equivalent to investigating the existence of solution of the corresponding coboundary equation. The main purpose of this thesis is to investigate the solvability of coboundary equations and to generalize the Borel's normal number theorem.
In Chapter 3, on the unit interval [0,1) it is proved that a real-valued function $f(x)=exp(πi 1_I(x))$ is not of the form $f(x)=\overline{q(2x)}q(x)$, $|q(x)|=1$ a.e. if the interval I has dyadic endpoints. Its relation with the uniform distribution mod 2 is also shown.
In Chapter 4, for the transformation T: x → kx (mod 1) for k ≥ 2, it is proved that a real-valued function f(x) of modulus 1 is not a multiplicative coboundary if the discontinuities $0 ＜ x_1 ＜ … < x_n ≤ 1$ of f(x) are k-adic points and $x_1 ≥ \frac {1}{k}$. It is also proved that the induced skew product is weakly mixing.
In Chapter 5, let ρ: G → U(H) be an irreducible unitary representation of a compact group G. For Bernoulli shifts, the solvability of ρ(φ(x))g(Tx)=g(x) is investigated if φ(x) is a step function.
In Chapter 6, $Y= ∏_{- ∞}^{∞}{0, 1, … , k-1}$ where k ≤ ∞ and σ be a shift map on Y. The solvability of φ(x)g(Tx)=g(x) is investigated if $φ(x)=∑_{j=0}^{n}a_j 1_{B_j}(x)$ with complex values $a_j$ and cylinder sets $B_j$. Its relation with the uniform distribution mod M is also shown and we give a different proof of S. Siboni's results.
본 논문에서는 에르고드 변환에 의한 경사곱의 성질들을 연구한다. 경사곱의 에르고드 성질을 규명하는 것은 그에 대응되는 코바운더리(coboundary) 방정식의 해의 존재성을 규명하는 것과 동치다. 본 논문에서는 주어진 에르고드 변환의 코바운더리 방정식의 해의 규명성을 연구한다. 그리고 이를 이용해 Borel의 정규수 정리를 새로운 각도에서 고찰한다.
3장에서는 단위구간상에 이진수를 끝점으로 하는 구간 I에 대해 실수값을 갖는 함수 $f(x)=exp(πi 1_I(x))$ is not of the form $f(x)=\overline{q(2x)}q(x)$, |q(x)|=1 의 형태로 표현될 수 없음을 보였다. 그리고 이를 이용해 mod 2 정규분포에 관하여 연구하였다.
4장에서는 단위구간상에 정의된 변환 T: x → kx (mod 1) for k ≥ 2에 대하여 절대값이 1인 함수 f(x)가 유한개의 k진수의 불연속점 $0 ＜ x_1 ＜ … < x_n ≤ 1$ 을 갖고 $x_1 ≥ \frac {1}{k}$이면 코바운더리가 될 수 없음을 보였다. 그리고 이 함수에 의한 경사곱이 약혼합성질(Weakly mixing property)을 만족함을 보였다.
5장에서는 컴팩트군 G의 기약 유니터리 표현(irreducible unitary representation) ρ: G → U(H) 에 대하여 베르누이 변환상에서 φ(x) 가 컴팩트 군 G 값을 갖는 계단함수일 때 ρ(φ(x))g(Tx)=g(x) 의 해의 규명성을 연구했다.
6장에서는 $Y= ∏_{- ∞}^{∞}{0, 1, … , k-1}$, k ≤ ∞ 상의 밀림변환 σ에 대하여 $a_j$가 복소수 값이고 $B_j$가 원기둥일때 $φ(x)=∑_{j=0}^{n}a_j 1_{B_j}(x)$ 에 의한 코바운더리 방정식 φ(x)g(Tx)=g(x)의 해의 규명성을 연구했다. 그리고 이를 이용해 mod M 정규분포의 성질을 연구했고 S. Siboni의 결과들을 쉽게 증명했다.
