This dissertation is concerned with producing and updating a probability density function to represent the state of a discrete time stochastic system which is driven by a known non-Gaussian input density function with additive Gaussian and/or non-Gaussian noise. The a posteriori density function of the state conditioned on the measurement data contains all of the available information that can be used in the development of estimation for such systems.
In the Bayesian framework of recursive estimation, there exist general recursive expression describing the evolution of the a posteriori density functions in terms of the a priori distributions and the available measurement data. However, the optimal solution to nonlinear recursive estimation has been considered infeasible for real time implementations, since it involves multi-dimensional integrals that lack analytical solutions. Therefore, difficulties in applying this filter to nonlinear and/or non-Gaussian systems have led to the consideration of more general filters and the possibility of approximate solution of the general Bayesian recursion relations.
The major contributions of this thesis are the development of a nonlinear filtering algorithm suitable for the application of target tracking in the Bayesian framework, and a numerical approximation to the optimal recursive solution. In this algorithm the probability density functions have been approximated by a grid, which computes a discretized version of the posteriori filter density in a uniform mesh over the interesting region of the state space. The implementation of the grid method consists of a convolution and an element-wise matrix multiplication.
The proposed algorithm propagates the entire non-Gaussian conditional probability density functions recursively, but in a computationally efficient manner using either the fast Fourier transform or the discrete wavelet transformation.
In the nonlinear filtering algorithm using the discrete wavelet transform, we can speed up the computation by ignoring the high frequency details of the probability density function up to a certain level with the multiresolution analysis capability offered by the wavelet transform. The level of the wavelet decomposition can be determined at each time step adaptively. According to our simulation, the proposed algorithm appears to be potentially more accurate than the widely used extended Kalman filter.
In the direction of arrival (DOA) tracking of multiple targets using a sensor array, we apply the nonlinear filtering algorithm using the fast Fourier transform. Numerical simulations are included to show the effectiveness of the proposed algorithm. Especially, our algorithms do not need the explicit data association step which presents in most multiple target tracking filters, and therefore appears to be is more natural and robust.
본 논문은 부가적인 가우시안 잡음 또는 비가우시안 잡음이 혼합되고, 미지의 비가우시안 입력으로 구동되는 이산 시간 스토캐스틱 시스템의 상태를 나타내는 확률밀도함수를 표현하고, 새롭게 하는 것을 고려하여 살펴본다. 측정 데이타를 조건으로 한 상태의 후 확률밀도함수 (a posteriori probability density function)는 이러한 시스템에 대해서 상태 추정의 전개 및 발전에 이용될 수 있는 모든 가능한 정보를 포함하고 있다.
반복적인 추정에 대한 베이시안 체제에서 후 확률밀도함수의 전개를 표현하기 위해 일반적인 반복적 식이 사전 분포 (a priori distribution)와 이용가능한 측정 데이타의 항으로써 주어진다. 그러나 비선형 반복추정에 대한 최적의 해는 해석적인 해결책을 결여한 다차원 적분을 갖고 있는 것 때문에 실시간 구현이 불가능한 것으로 인식되어 왔었다. 특히 이러한 비선형 필터를 비선형 또는 비가우시안 시스템에 적용시킴에 있어서 어려움은 좀 더 일반적인 필터를 고려해야 되고, 일반적인 베이시안 반복 관련식에 대한 근사적인 해를 구할 가능성에 대해 고려해야 된다는 점이다.
이 논문의 중요한 공헌은 베이시안 체제를 기반으로 표적 추적에의 응용을 위한 비선형 필터링 알고리듬의 구현과 최적의 해에 대한 수치적 근사화를 구현, 발전시킨 점이다. 이 알고리듬에서 확률밀도함수들은 그리드 (grid)로 근사화되고, 이는 상태변수 공간의 유효한 영역에 걸친 일정한 망그물 (mesh)에서 필터의 후 확률밀도함수에 대한 이산 값을 계산한다. 그리드 방법의 구현은 예측 단계 (prediction step)에서의 컨버루션 (convolution)과 필터링 단계에서의 성분간의 매트릭스 곱셈 (element-wise matrix multiplication)으로 이루어진다.
제안된 알고리듬은 모든 비가우시안 조건부 확률밀도함수 자체들을 빠른 푸리에 변환 (fast Fourier transform) 이나 이산 웨이브릿 변환 (discrete wavelet transform)을 사용하여 반복적으로 그리고 계산적으로 효율적인 방법으로 진전시킨다. 특히 웨이브릿 변환을 이용한 비선형 필터링 알고리듬에서는 웨이브릿 변환의 한 영역인 다분해 해석 (multiresolution analysis)으로 어느 수준까지는 확률밀도함수의 고주파수 관련 항목인 상세치 (details)를 무시함으로써 계산을 효율적이고, 빠르게 할 수 있다. 웨이브릿 분해 (decomposition)의 정도는 매 시간 단계별 적절히 조절되어 결정된다. 모의실험 결과에 따르면 제안된 알고리듬은 폭넓게 사용되는 확장 칼만 필터 (extended Kalman filter) 보다 더 정확함을 보여준다.
배열 센서를 이용한 다표적의 도래각 추적에서는 빠른 푸리에 변환을 이용한 비선형 필터링 알고리듬을 적용하였다. 수치적인 모의실험이 제안된 알고리듬의 효율성을 보이기 위하여 수행되었다. 특히 제안된 알고리듬들은 대부분의 다표적 추적 필터에서 대두되는 명백한 데이타 연관 (data association)의 과정을 필요로 하지 않기 때문에 좀 더 자연스럽고 강인함을 나타내 보여준다.
