We are interested in differential equations of the form
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having an orthogonal polynomial system of solutions.
In 1929, Bochner showed that there are essentially (i.e.,up to a complex linear change of variable) four orthogonal polynomial systems that satisfy the differential equation (0.1) with $N=2.$ These orthogonal polynomial systems are Jacobi, Laguerre, Hermite, Bessel polynomials, which are called the classical orthogonal polynomials. Krall classifed all orthogonal polynomials satisfying fourth order differential equation of the form (0.1). In addition to recovering four classical orthogonal polynomials, he also found three new orthogonal polynomials which are now called the classical-type orthogonal polynomials. For N＞4, the complete classification of such differential equations remains open. Interests in such differential equations lie partly in the fact that they provide excellent examples to illustrate the general Titchmarsh-Weyl theory of singular boundary value problems.
We first show that if a linear differential equation (0.1) has an orthogonal polynomial system of solutions, then the differential operator $L_N[ㆍ] $ must be symmetrizable, which is the key step to develop spectral analysis of such differential equations.
Secondly, we show that for any orthogonal polynomials ${P_n(x)}_{n=0}^∞$ satisfying a differential equation (0.1) of order N (≥2) ${P_n(x)}_{n=0}^∞$ must be essentially Hermite polynomials if and only if the leading coefficient $ℓ_N(x)$ of $L_N[ㆍ]$ is a non-zero constant.
Thirdly, let τ=σ+ν be a point mass(es) perturbation of a classical moment functional σ which is quasi-definite. We then find conditions for orthogonal polynomials ${Q_n(x)}_{n=0}^∞$ relative to τ to be Bochner-Krall orthogonal polynomials, that is, ${Q_n(x)}_{n=0}^∞$ are eigenfunctions of a finite order linear differential operator with polynomial coefficients of the type (0.1). For example, we show that σ cannot be the moment functional for Bessel or Hermite polynomials and supp(ν) contains at most two points. These solve at least partially Magnus'' conjecture and explain completely the phenomena for infinite order differential equations (found by J. Koekoek and R. Koekoek), which have generalized Jacobi polynomials ${P_n^{α,β,M,N(x)}_{n=0}^∞$ and generalized Laguerre polynomials ${L_n^{α,M}(x)}_{n=0}^∞$ as eigenfunctions.
Finally, for a given orthogonal polynomial system ${P_n(x)}_{n=0}^∞$ and a linear differential operator of order k(≥) with polynomial coefficients
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we find necessary and sufficient conditions for a polynomial sequence ${Q_n(x)}_{n=0}^∞$ defined by $Q_n(x):=L[P_{n+r}^{(r)}(x)],≥0$ to be also an orthogonal polynomial system. We also give a few applications of this result together with the complete analysis of the cases : (ⅰ) k=0,1,2 and r=0, and (ⅱ) k=r=1.
본 논문에서는 직교다항식열(sequence of orthogonal polynomials)과 직교다항식열을 해로 갖는 다항식계수의 스펙트랄형태의 N차 미분방정식(spectral-type differential equation) (이하, 미분방정식)
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에 대하여 연구한다.
1929년 Bochner는 2차 미분방정식 $L_2[y](x)=λ_ny(x)$을 만족하는 직교다항식열은 Jacobi 다항식, Laguerre다항식, Hermite다항식, 그리고 Bessel 다항식 뿐임을 보였다. 이 네 직교다항식열들을 고전직교다항식열이라 부른다.
4차 미분방정식을 만족하는 직교다항식열들은 Krall에 의해 1938년에 분류되었는데, 이들 직교다항식 열들은 4개의 고전직교다항식열들과 고전형 직교다항식열이라 불리우는 3개의 새로운 다항식열들로 이루어진다. 하지만 4차 이상의 미분방정식을 만족하는 직교다항식열의 분류는 아직 미해결문제로 남아 있으며, 이런 분류문제의 중요성은 부분적으로 직교다항식열을 해로 갖는 고차미분방정식은 Tichmarsh-Weyl 이론의 탁월한 예를 제시하는 등 Hilbert공간이나 Krein공간에서의 미분작용소의 스펙트랄 이론의 응용성에 기인한다.
본 연구의 결과는 첫째로, 유한차수의 미분방정식 $L_N[y](x)=λ_n y(x)$ 이직교다항식열을 해로 갖으면 미분작용소 $L_N[ㆍ]$는 대칭성(symmetrizability)을 가짐을 보임으로서 미분작용소의 spectral이론을 발전시키는데, 이는 Hilbert 공간이나 Krein 공간에서의 자기수반(self-adjoint)미분작용소의 예를 제시하기 때문이다.
둘째로, 고차미분방정식이 Hermite다항식을 해로 갖기 위한 필요충분조건을 제시하는데 이는 분류문제의 부분적인 해결이 된다.
셋째로, 고전직교다항식열에 직교성을 부여하는 무게함수(weight function) 에 섭동(perturbation)이 더하여진 형태의 무게함수에 직교하는 다항식열이 미분방정식 $L_N[y](x)=λ_n y(x)$의해가 되기 위한 조건들을 제시하는데, 특히 이 경우 섭동은 무게함수의 support의 경계점에서 가해져야 한다는 것을 보임으로서 Magnus'' conjecture - 미분방정식 $L_N[y](x)=λ_n y(x)$을 만족하는 직교다항식열의 무게함수는 고전직교다항식열에 직교성을 부여하는 무게함수와 그 무게함수의 support의 경계점에 섭동이 더하여진 형태이다 - 에 긍정적인 해답을 기대하게 할 뿐만 아니라 이 conjecture의 부분적인 해답을 제시하며, J. Koekoek과 R. Koekoek이 만들어낸 generalized Jacobi다항식과 generalized Laguerre다항식이 만족하는 무한차수의 미분방정식들이 특정한 조건 하에서 유한차수의 미분방정식이 되는 현상을 완전히 규명하게 된다.
마지막으로, 주어진 다항식열 ${P_n(x)}_{n=0}^∞$과 미분작용소
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에 대하여 $Q_n(x)=M[P_{n+r}^{(r)}](x),≥0$으로 정의된 다항식열 ${Q_n(x)}_{n=0}^∞$이 직교다항식열이 되기 위한 필요충분조건을 찾으며, k=0,1,2와 r=0 그리고 k=r=1인 경우에 대하여 직교다항식열들 ${P_n(x)}_{n=0}^∞$과 ${Q_n(x)}_{n=0}^∞$을 완전히 분류한다.
