In this thesis, I am concerned with finite element approximation schemes of elliptic boundary value problems. Specially, least-squares mixed methods for second order elliptic problems, stabilization procedure for Stokes problem using nonconforming quadrilateral finite element and a parallel iterative Galerkin scheme for second order elliptic problems will be studied.
In Chapter 1, a theoretical analysis of a least-squares mixed finite element method for second-order elliptic problems having non-symmetric matrix of coefficients is presented. It is proved that the least-squares mixed method does not subject to the Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi[25] (LBB) consistency condition, and that the finite element approximation yields a symmetric positive definite linear system with condition number $O(h^{-2})$. Optimal order error estimates are developed.
In Chapter 2, stability result is obtained for the approximation of the stationary Stokes problem with nonconforming elements proposed by[20] added by conforming bubbles to the velocity and discontinuous piecewise linear to the pressure on quadrilateral elements. Optimal order error estimates are derived.
In Chapter 3, a parallel iterative Galerkin method based on domain decomposition technique with nonconforming quadrilateral finite elements will be analyzed for second-order elliptic equations subject to the Robin boundary condition. Optimal order error estimates are derived with respect to a broken $H^1$ norm and $L^2$ norm. Applications to time-dependent problems will be considered. Some numerical experiments supporting the theoretical results will be given. This chapter is to extend the work in [5] to the non-selfadjoint case of second order equations including the term ▽u. We suppose that uniformly ellipticity holds. Hence the arguments in [5] may be applied, word for word.
본 논문에서는 타원형 경계치 문제의 유한요소 근사 방법들을 연구한다. 특히, 이차 타원형(second order elliptic) 문제들의 혼합 최소제곱법과(least-squares mixed methods), nonconforming 사각(quadrilateral) 유한요소를 이용한 스톡스(Stokes) 문제의 안정화(stabilization) 방법을 연구하고, 이차 타원형 문제의 반복적 병렬처리(parallel iterative) Galerkin 방법을 연구한다.
제 1장에서는, 비대칭 계수행렬을(nonsymmetric coefficient matrix) 갖는 이차 타원형 문제들의 혼합 최소제곱법을 이론적으로 해석한다. 혼합 최소제곱법은 LBB의 일관성(consistency) 조건을 따르지 않아도 되며, 그 유한요소 근사는 $O(h^{-2})$ 크기의 condition number를 갖는 대칭 양의 정부호(positive definite) 선형시스템이 된다. 최적차수의 오차 계산을 얻을 수 있게 된다.
제 2장에서는, nonconforming 유한요소에 거품(bubble) 함수를 첨가한 공간을 속도 함수의 근사공간으로 사용하고 불연속(discontinuous) 일차 함수를 압력 함수의 근사공간으로 사용할 때의 스톡스 문제의 안정화에 대한 결과를 얻는다.
제 3장에서는, Robin 경계치를 갖는 이차 타원형 문제를 nonconforming 사각 유한요소와 영역분할법을(domain decomposition) 이용하는 반복적 병렬처리 Galerkin 방법으로 푼다. 최적차수의 오차를 얻을 수 있다. 타원형 문제에 관한 이론적 결과를 시간변수가 있는 문제에 응용하여 적용하였다. 이론을 확인시켜주는 많은 수치실험의 결과를 나타냈다.
