In order to obtain the exact dynamic response of a structure or to avoid the resonant response of a structure, it is required to develop a solution method that can evaluate the desired eigenvalues and the corresponding eigenvectors and a technique that can check whether the desired eigenpairs are indeed calculated without any missed ones or not. This dissertation presents a numerically stable eigenproblem solution method by improving the subspace iteration method with shift and a technique for checking the missed eigenvalues of structures with nonproportional damping.
The subspace iteration method has hitherto been known to be very efficient for solving large eigenproblems. A major difficulty of the conventional subspace iteration method using shifting technique is that a shift very close to an eigenvalue cannot be used due to the singularity problem, resulting in slower convergence. In this study, the above singularity problem has been solved by introducing side conditions without sacrifice of convergence. The proposed method is always nonsingular even if a shift is on a distinct eigenvalue or multiple ones. This is one of the significant characteristics of the proposed method. The nonsingularity is proved analytically. The convergence of the proposed method is at least equal to that of the conventional subspace iteration method with shift, which is also proved analytically, and the operation counts of the above two methods are almost the same when a large number of eigenpairs are required. To show the effectiveness of the proposed method, four cases are analyzed. They are two structures with distinct eigenvalues such as a three-dimensional frame structure and a simply supported rectangular plate structure and two structures with multiple eigenvalues such as a three-dimensional frame structure with a symmetric cross-section and a simply supported square plate structure.
Most of the eigenvalue analysis methods such as the subspace iteration method and the Lanczos method may miss some eigenpairs in the required ones, because the above eigenvalue analysis methods do not calculate the complete eigenvector set of a structure but the lowest small portion of this set. For the practical eigenvalue analysis method, a technique to check the missed eigenvalues must be included. In the case of the undamped or proportionally damped system (i.e., in the eigenvalue analysis without damping), the missed eigenvalues can be checked by using the Sturm sequence property, and most of the eigenvalue analysis methods include the technique for checking the missed eigenvalues using the Sturm sequence property. However, in the case of the nonproportionally damped system such as the soil-structure interaction problem, the structural control problem and composite structures (i.e., in the eigenvalue analysis including damping), a technique for checking the missed eigenvalues has not been developed yet. In this study, various mathematical properties such as the extension of the Sturm sequence property, the Gerschgorin theorem, the Routh-Hurwitz criterion and the argument principle have been reviewed thoroughly. And then, a technique for checking the missed eigenvalues of structures with nonproportional damping is proposed by applying the argument principle. To verify the effectiveness of the proposed method, two numerical examples such as a simple spring-mass-damper system and a three-dimensional frame structure with concentrated dampers are considered.
구조물의 정확한 동적응답을 구하기 위해서나 공진 현상을 피하기 위해서는, 수치적으로 안정하고 효율적인 고유치 해법 및 고유치 해석을 통해 구해진 고유짝에 누락된 고유짝이 존재하는지 여부를 정확하게 검사할 수 있는 기법이 필요하다. 본 논문에서는 부분공간 반복법의 개선을 통해 개발된 수치적으로 안정한 고유치 해법과 비비례감쇠를 갖는 구조물의 누락된 고유치 검사 기법을 제안하였다.
부분공간 반복법은 현재까지 대형 고유치문제를 계산하는데 가장 효율적이라고 알려진 고유치해법이다. 쉬프팅 기법을 사용한 부분공간 반복법의 가장 큰 문제점은 특이성 문제 때문에 어떤 고유치에 매우 근접한 쉬프트를 사용할 수 없다는 것으로, 이에 따라 수렴성이 낮아지는 결과를 준다. 본 연구에서는, 이상과 같은 특이성 문제를 부가조건식을 도입하여 수렴성 저하 없이 해결하였다. 제안방법은 쉬프트가 어떤 단일근 또는 중복근 상에 존재하는 경우일 지라도 항상 비특이성을 만족한다. 제안 방법의 비특이성은 해석적으로 증명하였다. 제안방법의 수렴성은 최소한 기존의 쉬프트를 갖는 부분공간 반복법의 수렴성과 같고, 이것도 해석적으로 증명하였다. 제안방법과 기존 부분공간 반복법의 연산회수는 많은 고유짝을 구하는 경우에 거의 비슷하다. 제안방법의 효용성을 증명하기 위해서 네가지 예제에 대한 수치해석을 수행하였다. 먼저 3차원 뼈대 구조물 및 단순지지된 사각 평판 구조물과 같이 단일근만을 갖는 구조물에 대해서 해석을 수행하였다. 그리고나서, 대칭단면을 갖는 3차원 뼈대 구조물과 단순지지된 정사각 평판 구조물과 같이 중복근을 갖는 구조물에 대해 해석을 수행하였다.
부분공간 반복법, Lanczos 방법과 같은 대부분의 고유치해석 방법들은 구하고자 하는 고유짝 중의 일부를 누락시킬 수 있다. 왜냐하면 이러한 고유치 해법들은 어떤 구조물의 전체 고유벡터 집합을 구하는 것이 아니라 이 집합에서 저차의 일부분만을 계산하기 때문이다. 따라서, 모드중첩법을 이용하여 정확한 동적응답을 얻기 위해서는 고유치해석 수행 후에 누락된 고유치를 검사하는 과정이 반드시 수행되어야만 한다. 비감쇠 또는 비례 감쇠 시스템의 경우, 즉 감쇠를 고려하지 않은 고유치해석의 경우에는 Sturm 수열 성질을 이용하여 누락된 고유치를 검사할 수 있다. 대부분의 고유치해법들이 이 기법을 채택하고 있다. 그러나, 지반-구조물 상호작용 문제, 구조물의 진동제어 문제, 복합재료 구조물과 같은 비비례 감쇠 시스템의 경우, 즉 감쇠를 고려한 고유치해석의 경우에는 누락된 고유치를 검사하는 기법이 아직까지 개발되어 있지 않다. 본 연구에서는, Sturm 수열 성질, Gerschgorin 정리, Routh-Hurwitz 기준 및 편각의 원리와 같은 다양한 수학 성질들을 자세히 검토한 후, 감쇠를 고려한 고유치 해석에서 누락된 고유치를 검사할 수 있는 기법을 제안하였다. 이 기법은 편각의 원리를 이용하였다. 제안방법의 효용성을 검증하기 위하여, 단순 스프링-질량-감쇠기 시스템과 집중 감쇠기가 부착된 3차원 뼈대 구조물에 대해서 수치해석을 수행하였다.
