본 논문에서는 상대론적 혼돈과 양자 혼돈이라는 두 가지 주제를 다루었다. 양자역학과 상대성 이론이 모두 20세기 초에 생겨난 물리의 새로운 패러다임이라면, 혼돈은 20세기말에 나타난 새로운 이론이다. 새로운 이론은 언제나 기존 이론과 잘 조화를 이룰 수 있어야 한다는 것이 물리의 기본적인 관점이고 보면, 혼돈과 상대론, 혼돈과 양자 역학의 관계에 대한 연구는 기본적이고도 중요한 연구가 아닐 수 없다.
혼돈은 비선형 계에서 일어난다. 일반적으로 비선형 항은 물체에 주어진 외부 환경에 의해서 주어진다. 하지만 상대론을 고려한 경우, 비선형 항이 그 자체의 동력학에 포함되어 나타난다. 따라서 상대론이 추가한 또 다른 비선형 항은 외부 환경에 의해 주어진 비선형 항과 같이 어우러져 비선형 계의 성격을 상당히 바꿀 수 있다. 본 논문에서는 상대론을 고려한 경우 주기적 외력이 가해진 흩어지기 4차 진동자의 반복적 갈래질 구조가 파괴되는 것에 대해 연구하였다. 또한 보존계의 경우 가장 중요한 동역학적 특성중의 하나인 적분 가능성 역시 상대론에 의해 크게 변할 수 있음을 보였다. 이를 위해 원편광, 선편광된 전기장 하에 있는 싸이클론트론의 운동을 연구하였다. 상대론이 고려되어야 하는 경우 상대론에 의한 비선형항의 영향은 반드시 고려되어야만 한다.
혼돈 현상은 '위상공간에서 초기조건에의 작은 섭동이 지수 함수적으로 커져가는 것'으로 정의되어 있다. 이는 운동을 위상공간의 궤적으로 기술하는 고전 역학적 세계관에 기초를 두고 있다. 하지만 20세기초 미시 세계를 기술하는 양자 역학에서 이러한 관점은 옳지 않음이 증명되었고, 적어도 우리는 양자 역학이 고전 역학을 포함하는 더 올바른 이론이라 알고 있다. 따라서 양자 역학적 관점에서 볼 때 혼돈은 이해하기 힘든 현상이며 적어도 지금까지 진정한 의미의 '양자혼돈'이라는 것을 발견했다는 보고는 없다. 이는 아직까지 해결 안된 문제로써 양자역학이 과연 고전 역학을 포함하고 있는지에 대한 심각한 질문이 제기되고 있다. 본 논문에서는 비선형 보존계의 고유 상태의 국소화 특성으로 부터 고전 역학과의 상관성에 대해 연구하였다. 특히 연구된 계는 고전역학적으로 혼합된 특성을 보이는 것으로 혼돈과 주기운동이 공존하는 특성을 갖는다. 고유상태는 그 국소화 특성으로부터 국소화된 상태와 비국소화된 상태로 나누어 지는데, 이들이 각각 고전적 주기 운동과 혼동 운동에 대응한다는 것을 알아내었다. 그리고 각각의 주기적, 혼돈적 상태들은 서로 구분되는 에너지 레벨의 통계적 특성을 나타낸다는 것을 보였다. 이것은 1973년 Percival에 의해 제안된 가설과 잘 일치하는 결과로써, 주기 운동과 혼돈 운동은 고유 상태에 분리되어 나타난다는 것을 직접적으로 보여주는 좋은 예이다.
