The classification of equivariant vector bundles over a circle and algebraic realization problems for low dimensional manifolds are studied. For a compact Lie group G the fiber H-module of a G-vector bundle is characterized, where H is the trivializer of the action on the base space. We prove that the isomorphism class of a complex G-vector bundle over a circle is determined by the fibers over one or two points when regarded as complex representations of the isotropy subgroups at the points. The extension problem of representations is used to check whether a given G-vector bundle over a circle is trivial or not. For real G-vector bundles over a circle we also give isomorphism theorems according to the type of the fiber H-module. In a corollary of the isomorphism theorems it is proved that over a circle the stable isomorphism classes in equivariant K-theory are equivalent to the isomorphism classes in equivariant vector bundle theory. In addition, one of our main theorems for complex G-vector bundles over a circle provides information on how many indecomposable complex G-vector bundles have the same fiber H-module and how many these bundles are trivial. We also discuss a complete description of complex and real G-line bundles over a circle. Classification of G-vector bundles over a circle for abelian groups, dihedral groups, and generalized quaternion groups are also given. By an algebraic G-model we mean a real algebraic G-set X such that every real G-vector bundle over X is isomorphic to a strongly algebraic G-vector bundle. A nonsingular algebraic G-model is presented for one-dimensional closed smooth G-manifolds and two-dimensional closed smooth G-manifolds with effective action by applying the classification results of real G-vector bundles over a circle where G is a compact abelian Lie group. Using this result we also prove that every closed orientable smooth G-manifold of dimension three is equivariantly diffeomorphic to a nonsingular real algebraic G-set for a compact abelian Lie groupG.
이 논문에서는 단위원 상의 동변(equivariant) 벡터다발들의 분류와 저차원 G-다양체 상의 대수적 실현 문제들을 다룬다. 컴팩트 리(Lie)군 G에 대해 주어진 G-벡터다발의 밑공간(base space)에 자명(trivial)하게 작용하는 부분군을 H라 할 때 각 벡터다발에 대해 유일한 파이버 H-모듈을 정의하고 이러한 파이버 H-모듈들과 G-벡터다발들과의 관계를 살펴본다. 단위원 상의 복소 G-벡터다발들의 동형류(isomorphism class)가 밑공간의 한 점 또는 두 점 위의 파이버들이 가지는 부동군(isotropy subgroup)의 복소 표현(representation) 구조에 의해 결정됨을 보인다. 이러한 동변 벡터다발들의 분류에서 표현의 확장 문제는 주어진 단위원 상의 G-벡터다발이 자명한 구조를 가지는지 아닌지를 밝히는데 중요한 역할을 한다. 또한 실 G-벡터다발들에 대해서도 파이버 H-모듈의 종류(type)에 따른 동형 정리들이 있음을 밝힌다. 이러한 동형 정리들의 따름 정리로 단위원 상에서는 동변 K-이론에서 정의되는 동형류들이 동변 벡터다발 이론에서 정의되는 동형류들과 일치함을 보인다. 특히 복소 G-벡터다발들의 경우 주어진 파이버 H-모듈을 가지는 복소 G-벡터다발들의 갯수 및 이러한 벡터다발들 중 자명한 구조를 가지는 벡터다발들의 갯수를 알 수 있다. 또한 단위원 상의 복소 및 실 G-선다발의 형태를 완전하게 표현하는 방법에 대해서도 기술하며 가환군, 정이면체군(dihedral group) 및 사원수군(quaternion group)에 대한 단위원 상의 G-벡터다발들의 구조에 대해서도 다룬다. 실대수 G-집합으로 그 위에 정의된 모든 실 G-벡터다발들이 강대수 G-벡터다발과 동형일 때 이 집합을 대수적 G-모델이라 한다. 단위원 상의 실 G-벡터다발들에 대한 분류 결과들을 적용하여 G가 컴팩트 가환 리군일 때 일차원 닫힌 미분 G-다양체 또는 효과적인(effective) 작용을 가지는 이차원 닫힌 미분 G-다양체의 경우 정칙(nonsigular)인 대수적 G-모델이 존재함을 보인다. 이 결과를 이용하여 방향성을 가지는 모든 닫힌 미분 G-다양체들이 G가 컴팩트 가환 리군일 때 정칙 실대수 G-집합과 동변으로 미분동형임을 밝힌다.
