The recent trend toward high rotational speed and low vibration level for high performance and efficiency in the design of rotating machines demands the inclusion of both the disk flexibility and shaft dynamics in the analysis model for accurate vibration analysis. This is especially important in the areas such as gas turbines, industrial compressors, hard disks and CD-ROM drive systems. However, the analysis model consisting of both flexible shaft and disks is so complex that the coupling between the disk and shaft is not yet clearly understood, which necessitates a simpler model. In the case that disk flexibility influences significantly the vibrational characteristics of the whole system, it is very difficult to identify the modal parameters by the conventional modal testing method utilizing mode shapes, since the shaft and disk modes are coupled with each other and their modes tend to be closely packed in the frequency domain.
In this thesis, the coupled vibrations between the shaft and disk elastic motions and the corresponding mode splits, which can be used to identify effectively the vibrational modes of rotating machines, are investigated. The analysis model assumes that the shaft is rigid, the bearings are isotropic and the disks behave according to the classical plate theory. The equations of motion are derived by using the extended Hamiltion's principle, and discretized by expressing the disk deformation as a series of the eigenfunctions of the disk. According to the coupling mechanism of shaft and disk modes, the equations are classified as: bending coupled motion associated with the disk modes with one nodal diameter, axially coupled motion associated with the disk modes with no nodal diameter and uncoupled motion associated with the disk modes with more than one nodal diameter.
The bending coupled modes are classified as the balanced and unbalanced modes. The differences in magnitude between forward and backward modal frequencies, referred to as the mode splits, of the balanced modes are the same as those of uncoupled disk modes since the shaft does not experience any motion. On the other hand, the mode splits of the unbalanced mode pairs are found to be dependent upon the coupling factor and the shaft support stiffness, as well as the rotational speed and the ratio (α) of polar to diametrical moment of inertia. The coupling factor (Fm), which depends upon disk mode shape and shaft/disks configuration, determines the degree of coupling between shaft and disk modes. Through parameter analysis and simulations, we obtained the following results as: (1) The sum of mode splits of each unbalanced mode pair decreases as the coupling factor increases and/or Alpha decreases. (2) The first unbalanced modal frequencies are always lower in magnitude than the balanced (0,1) disk mode(hereafter, the first and second indices in the parenthesis denote nodal circle and diameter numbers, respectively), the second unbalanced modal frequencies are in between the balanced (0,1) and (1,1) disk modes, and the third ones are in between the balanced (1,1) and (2,1) disk modes. (3) As the shaft support stiffness increases, the mode split of the first unbalanced mode pairs changes from αΩ to 2Ω(Ω: rotational speed). (4) As the support stiffness increases in the limit, the first, second and third unbalanced modal frequencies approach the first, second and third balanced disk modes with one nodal diameter, respectively.
The axially coupled modes are classified as the balanced and unbalanced modes. These modes are not split as the rotational speed is varied, which makes possible the distinction from bending coupled modes. The modal frequencies are found to be dependent on the coupling factor, the shaft support stiffness and the shaft/disks configuration. Except for the mode split, the unbalanced modes show the same characteristics as those of bending coupled modes with respect to coupling factor and support stiffness variations. With the knowledge of the vibrational characteristics of coupled and uncoupled modes, the mode identification was easily done on the commercial HDD spindle systems via waterfall plot obtained through impact test.
Lastly, complex modal testing method for rotating disk with rigid body motions is introduced, which handles the pairs of two point excitations and responses of the disk as complex input and output, respectively. This method utilizes the directivity and mode splits over the rotational speed of the coupled and uncoupled modes. While the directivity and mode splits of balanced modes for bending coupled motions are the same as those of the forward and backward traveling wave modes of pure disks, the directivity of unbalanced modes is the same as the precessional whirl modes of the shaft. This method is an extension of the complex modal testing method which was originally applied to rotating shaft or rotating disk. The method is useful when the rotational speed can not be controlled arbitrarily or additional information such as asymmetry or anisotropy of the system is needed. This method is proved to be valid by experiments with commercial HDD spindle systems.
최근 회전기계에서 성능 및 효율 향상을 위하여 고속회전 및 진동저감이 필요하므로 제품개발이나 설계시 정확한 진동해석을 위하여 디스크의 탄성진동과 축의 진동을 해석모델에 동시에 고려하는 필요하다. 이것은 특히 가스터빈, 터빈발전기, 산업용 압축기, 컴퓨터 하드디스크 및 CD 롬 드라이브 등의 회전기계에서 중요하다. 그러나, 이러한 계에서는 축과 원판의 동력하적인 연성으로 인하여 진동해석이 매우 복잡하며, 특히 탄성축과 탄성 디스크로 구성된 해석 모델로부터 나온 수치해석 결과는 너무 복잡해서 축과 원판 간의 연성을 물리적으로 이해하기 어려우므로 좀더 단순한 해석 모델이 필요하다. 또한, 하드디스크와 같이 원판탄성의 효과가 계에 미치는 영향이 큰경우, 축과 원판운동이 서로 연성되어 여러 모드가 비슷한 주파수 대에서 중첩이 되어 모드형상으로 규명하는 종래의 모드시험법은 적용하기 매우 어렵다.
본 논문은 축과 원판의 연성으로 생기는 진동현상을 이해하고, 연성 및 비연성 모드의 분리현상과 정도를 규명하며, 이는 하드디스크의 진동모드 규명에 효과적으로 사용될 수 있다. 등방성 베어링과 고전적인 평판이론 (classical plate theory)이 적용되는 다중원판 및 강체축으로 구성된 해석모델로부터 해밀턴의 원리를 사용해서 운동방정식을 유도하였으며, 원판의 반경 및 원주 방향의 모드형상을 시도함수로하여 일반좌표와의 결합으로 원판의 탄성변위를 나타내어 이산화 하였다. 이러한 운동방정식은 절직경 수가 한개인 원판모드와 연성을 나타내는 굽힘연성운동, 절직경이 없는 원판모드와 연성을 일으키는 축방향 연성운동, 그리고 절직경이 2개 이상인 경우의 연성을 일으키지 않는 비연성운동으로 구분하여 해석하였다.
굽힘연성을 나타내는 진동모드는 다중원판의 경우 균형모드와 불균형모드로 구분된다. 균형모드의 분리 (모드분리 : 전후방 모드의 고유진동수 크기의 차이)는 축이 운동을 하지 않으므로 비연성 원판모드와 같고, 불균형모드의 전후방 모드분리는 회전속도와 α (반경방향 관성모멘트에 대한 극관성 모멘트의 비)외에 연성인자 (coupling factor)와 지지계의 강성에 의존한다. 원판의 모드형상과 축-원판계의 구성에 의존하는 연성인자는 축과 원판모드의 연성정도를 나타낸다. 매개변수 분석과 시뮬레이션으로부터 다음의 결과를 얻었다. (1) 불균형 모드쌍 들의 분리의 합은 연성인자가 증가하거나 α가 감소하면 작아진다. (2) 1차 불균형 모드의 고유진동수는 그 크기가 균형 (0,1)모드보다 작고, 2차 불균형 모드의 고유진동수는 균형 (0,1)과 (1,1)원판모드 사이에 있으며, 3차 불균형 모드의 고유진동수는 균형 (1,1)과 (2,1)원판모드 사이에 있다. (3) 지지계의 강성이 증가하면 1차 불균형 모드의 분리는 αΩ (Ω : 회전속도)에서 2Ω로 접근한다. (4) 지지계의 강성이 증가하면 1차, 2차 및 3차 불균형모드의 고유진동수는 각각 1차, 2차 및 3차 균형모드에 접근한다.
축방향 연성운동 역시 균형모드와 불균형 모드로 구분되며 회전에 의한 모드분리는 발생하지 않으며, 이는 굽힘연성 모드와 구분하는데 이용된다. 고유진동수는 회전속도외에 연성인자, 지지계의 강성과 계의 구성에 의존한다. 연성인자와 지지계 강성의 변화에 대한 불균형 모드의 특성은 모드분리를 제외하고는 굽힘연성 모드의 고유진동수와 같은 특성을 가진다. 즉 굽힘연성 모드의 (2)와 (4)의 결과가 적용된다.
이러한 굽힘 및 축 방향 연성모드의 분리현상 및 고유치변화에 대한 정보를 이용하여, 상업용 하드디스크 스핀들 계의 충격시험을 통한 주파수 응답함수의 회전수에 대한 주파수 변화치를 관찰함으로써 효과적으로 모드규명을 할 수 있었다.
그리고, 원판에 2점 가진 및 2점 응답을 각각 복소입력과 복소출력으로 취하는 복소모드 시험방법을 소개한다. 이 방법은 연성 및 비연성모드의 방향성과 최전에 대한 모드분리 현상을 이용한다. 굽힘연성 모드에서 균형모드의 방향성과 모드분리는 순수한 원판의 전후방 이동파 (traveling wave) 모드와 같고, 불균형 모드의 방향성은 축의 세차모드와 같다. 또, 이 방법은 회전축이나 원판에 적용되었던 각 방법의 방향성 주파수 응답함수에 대한 성질을 조합하여 새로운 계에 적용하는 것이며, 회전속도를 임의로 조정하기 힘든 경우나 시스템의 비대칭성을 규명하고자 하는 겨우 유용한 방법이 될 수 있다. 실험은 전형적인 하드디스크 스핀들 계에 대해서 하였으며, 이론의 타당성을 입증하였다.
