It is well known that the spectral method is very accurate for a numerical approximation to the smooth solution of a boundary value problem. The spectral method, however, applied to the advection-diffusion equation is unstable when the diffusion coefficient is very small. For certain special types of advection-diffusion equations, Canuto and Puppo suggested a new scheme using the locally supported bubble functions to stabilize the Legendre spectral method. With the augmentation of locally supported bubble functions and a certain interpolation operator, two stabilization schemes are proposed to stabilize the Chebyshev spectral method for one and two dimensional advection-diffusion equations under certain assumptions for the velocity function. Theoretical analysis for the convergence and stability of the proposed schemes are presented. Numerical experiments for specific examples show an improvement of accuracy and stability.
스펙트럴 방법은 경계치문제에 적용하였을때 높은 정확성을 가지는 것으로 잘 알려져있다. 그러나 이류확산 방정식에 적용할때, 확산계수가 매우 작은 경우 해가 매우 불안정한 결과를 보인다. 르장드르 스펙트럴 방법의 경우에는 Canuto와 Puppo에 의하여 특별한 이류확산 방정식에 대하여 적용이 가능한 버블 함수를 사용하는 안정화 방법이 제안되었다. 본 논문에서는 체비셰프 스펙트럴 방법이 속도함수가 특별한 조건을 만족하는 이류확산 방정식에 적용될 때 버블함수와 특별한 보간 연산자를 사용하여 안정된 해를 구할 수 있는 안정화된 체비셰프 스펙트럴 방법을 제안하고, 이의 수렴성과 안정성을 해석적으로 보인다. 또한, 두가지의 구체적인 문제에서 이 방법에 의한 해를 구하고, 해의 정확성과 안정성의 향상을 보인다.
